北京市海淀区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，下列拼图组件是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的一次项系数是（）

A、-4 B、-3 C、2 D、3

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3. 点 $A (1 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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4. 将 $y = x^{2}$ 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = {(x - 2)}^{2}$

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5. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = - 5$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 2)}^{2} = - 3$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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6. 如图，不等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，下列结论不成立的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 1 = ∠ 4$ C、 $∠ A O B = 2 ∠ A C B$ D、 $∠ A C B = ∠ 2 + ∠ 3$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $B O$ ， $A O$ 上，且 $P Q / / A B$ ．以 $P Q$ 为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段 $A C$ ， $B D$ 上，设 $B P = x$ ，新作菱形的面积为 $y$ ，则反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：

若圆半径为1，当任务完成的百分比为 $x$ 时，线段 $M N$ 的长度记为 $d (x)$ ．下列描述正确的是（）

A、 $d (25 %) = 1$ B、当 $x > 50 %$ 时， $d (x) > 1$ C、当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $d (x_{1}) > d (x_{2})$ D、当 $x_{1} + x_{2} = 100 %$ 时， $d (x_{1}) = d (x_{2})$

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = - x^{2}$ ，请判断点 $A (1 ， - 1)$ 是否在该二次函数的图象上．你的结论为（填“是”或“否”）．

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $E$ 在边 $C D$ 上．以点 $A$ 为中心，把 $△ A D E$ 顺时针旋转 $90 °$ 至 $△ A B F$ 的位置，若 $D E = 2$ ，则 $F C =$ ．

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} = m$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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12. 如图，在 $5 \times 5$ 的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点 $O$ 为圆心，5为半径画圆，共经过图中个格点（包括图中网格边界上的点）．

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13. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为 $x$ ，则可列出的方程是．

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ （ $a$ 是常数），则该函数图象的对称轴是直线 $x =$ ．

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15. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，顺次连接 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $O$ ．若四边形 $A B C O$ 为平行四边形，则 $∠ A O C =$ $°$ ．

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16. 对于二次函数 $y = a x^{2}$ 和 $y = b x^{2}$ ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：

$x$

-1

$m (m \neq 1)$

$y = a x^{2}$

$c$

$c$

$y = b x^{2}$

$c + 3$

$d$

根据二次函数图象的相关性质可知： $m =$ ， $d - c =$ ．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 6 x = 16$ ．

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18. 如图，已知 $A B = B C$ ， $∠ B C D = ∠ A B D$ ，点 $E$ 在 $B D$ 上， $B E = C D$ ．
求证： $A E = B D$ ．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (0 ， 3)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、画出这个函数的图象．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为正整数，求此时方程的根．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ，以 $B C$ 为直径的半圆与 $A B$ 交于点 $D$ ，与 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证：点 $D$ 为 $A B$ 的中点；

(2)、求证： $A D = D E$ ．

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22. 如图，用一条长 $40 m$ 的绳子围成矩形 $A B C D$ ，设边 $A B$ 的长为 $x m$ ．

(1)、边 $B C$ 的长为 $m$ ，矩形 $A B C D$ 的面积为 $m^{2}$ （均用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、矩形 $A B C D$ 的面积是否可以是 $120 m^{2}$ ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = - x + m$ 的图象过点 $A (1 ， 3)$ ，且与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求 $m$ 的值和点 $B$ 的坐标；

(2)、求 $a x^{2} + b x > - x + m$ 的解集．

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24. 某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离

s

（单位：

m

）与滑行时间

t

（单位：

s

）的若干数据，如下表所示：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7
滑行时间 $t / s$	0	1.07	1.40	2.08	2.46	2.79	3.36
滑行距离 $s / m$	0	5	10	15	20	25	35

为观察 $s$ 与 $t$ 之间的关系，建立坐标系，以 $t$ 为横坐标， $s$ 为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数 $s = a t^{2} + b t + c (t \geq 0)$ 来近似地表示 $s$ 与 $t$ 的关系．

(1)、有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是；

(2)、当

t = 0

时，

s = 0

，所以

c =

；

(3)、当此滑雪者滑行距离为

30 m

时，用时约为

s

（结果保留一位小数）．

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25. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $D$ 为 $A C$ 的中点，连接 $B C$ ， $O D$ ．

(1)、求证： $O D / / B C$ ；

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $A B$ 的垂线与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，作直径 $E F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ．若 $G$ 为 $B C$ 中点， $⊙ O$ 的半径为2，求弦 $B C$ 的长．

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26. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (4 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、将点 $C$ 向右平移 $n$ 个单位，再次落在二次函数图象上，求 $n$ 的值；

(3)、对于这个二次函数，若自变量 $x$ 的值增加4时，对应的函数值 $y$ 增大，求满足题意的自变量 $x$ 的取值范围．

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27. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在 $B C$ 上，点 $E$ ， $F$ 分别在射线 $A B$ ， $A C$ 上，且 $D A = D E = D F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 是 $B C$ 的中点时，则 $∠ E D F =$ $°$ ；

(2)、如图2，点 $D$ 在 $B C$ 上运动（不与点 $B$ ， $C$ 重合）．
①判断 $∠ E D F$ 的大小是否发生改变，并说明理由；

②点 $D$ 关于射线 $A C$ 的对称点为点 $G$ ，连接 $B G$ ， $C G$ ， $C E$ ．依题意补全图形，判断四边形 $B E C G$ 的形状，并证明你的结论．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，旋转角 $α$ 满足 $0 ° \leq α \leq 180 °$ ，对图形 $M$ 与图形 $N$ 给出如下定义：将图形 $M$ 绕原点逆时针旋转 $α$ 得到图形 $M'$ ． $P$ 为图形 $M'$ 上任意一点， $Q$ 为图形 $N$ 上的任意一点，称 $P Q$ 长度的最小值为图形 $M$ 与图形 $N$ 的“转后距”．已知点 $A (1 ， \sqrt{3})$ ，点 $B (4 ， 0)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ．

(1)、当 $α = 90 °$ 时，记线段 $O A$ 为图形 $M$ ．
①画出图形 $M'$ ；

②若点 $C$ 为图形 $N$ ，则“转后距”为 ▲ ；

③若线段 $A C$ 为图形 $N$ ，求“转后距”；

(2)、已知点 $P (m ， 0)$ 在点 $B$ 的左侧，点 $Q (m - \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，记线段 $A B$ 为图形 $M$ ，线段 $P Q$ 为图形 $N$ ，对任意旋转角 $α$ ，“转后距”大于1，直接写出 $m$ 的取值范围．

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$x$	-1	$m (m \neq 1)$
$y = a x^{2}$	$c$	$c$
$y = b x^{2}$	$c + 3$	$d$