北京市丰台区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 5 {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(2, 1)$

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3. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是（）

A、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ B、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ ; C、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} + 3$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）

A、 $b < 0$ B、 $c > 0$ C、 $a + b + c = 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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5. 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为 $5 k m$ 的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在 $Р$ 点，每一个小格的边长为 $1 k m ，$ 那么能被雷达监测到的最远点为（）

A、 $G$ 点 B、 $H$ 点 C、 $M$ 点 D、 $N$ 点

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6. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（）

A、5 B、10 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 65 °$ ．在同一平面内，将 $Δ A B C$ 绕点 $C$ 旋转到 $Δ A' B' C$ ，若 $B'$ 恰好落在线段 $A B$ 上，连接 $A A'$ ．则下列结论中错误的是（）

A、 $∠ B' A' C = 25^{\circ}$ B、 $A C ⊥ A A'$ C、 $∠ A C A' = 50^{\circ}$ D、 $A B ⊥ A A'$

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8. 函数 $y = x^{2} - 2 | x | - 1$ 的自变量 $x$ 的取值范围为全体实数，其中 $x \geq 0$ 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：

①函数图象关于 $y$ 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；④当 $- 2 < a < - 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 | x | - 1 = a$ 有 $4$ 个实数根．其中正确的结论个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

9. 在平面直角坐标中，点 $P (1, - 2)$ 关于原对称的点的坐标为．

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10. 如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中 $∠ A = 80^{\circ}$ ，则 $∠ C =$ ．

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11. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 $y$ 轴交于点 $(0 ， - 3)$ ，这个二次函数的解析式可以是．

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12. 点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）.这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合.

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13. 如图，点P是⊙ $O$ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ $O$ 于点C，若 $∠ P = 30^{\circ}$ ，PB=6，则PC等于．

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14. 若二次函数 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + k$ 的图象上有两点 $A (- 3, m), B (0, n)$ ，mn．（填“＞”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A ， B ， C$ 的坐标分别是 $(0 ， 2) ， (2 ， 0) ，$ $(4 ， 0) ， ⊙ M$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，则圆心 $M$ 的坐标为， $M$ 的半径为．

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三、解答题

16. 在关于的

x

二次函数中，自变量

x

可以取任意实数，下表是自变量

x

与函数

y

的几组对应值：

$x$	…	1	2	3	4	5	6	7	8	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	-1.78	-3.70	-4.42	-3.91	-2.20	$0.75$	4.88	10.27	…

根据以上信息，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位）．

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17. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、用配方法将其化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、求出此二次函数的对称轴和二次函数图象与 $y$ 轴交点的坐标．

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18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 $x$ 与纵坐标 $y$ 的对应值如下表所示：

$x$

…

-3

-2

-1

0

1

…

$y$

…

0

3

4

3

0

…

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、在直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)、结合图象，直接写出当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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19. 如图， $Δ A B C$ 为等边三角形，将 $A C$ 边绕点 $C$ 顺时针旋转 $40^{\circ}$ ，得到线段 $C D ，$ 连接 $B D$ ，求 $∠ A B D$ 的度数﹒

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20. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知： $Δ A B C$ ．

求作： $B C$ 边上的高 $A D$ ．

作法：如图，

①分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $P ， Q$ 两点；

②作直线 $P Q$ ，交 $A C$ 于点 $O$ ，则直线 $P Q$ 是线段 $A C$ 的 ▲ 线；

③以 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ，与 $C B$ 的延长线交于点 $D$ ，连接 $A D$ ，线段 $A D$ 即为所作的高．

(1)、补全尺规作图并填空﹔

(2)、判断 $A D$ 为高的依据是．

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21. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 $A B = 18$ 分米， $C$ 为 $A B$ 中点， $D$ 为拱门最高点，圆心 $О$ 在线段 $C D$ 上， $C D = 27$ 分米，求拱门所在圆的半径．

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22. 如图， $Δ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 3) ， B (0 ， 1) ， C (- 1 ， - 1)$ ．

(1)、请画出 $Δ A B C$ 关于点 $B$ 成中心对称的 $Δ A_{1} B C_{1}$ ，并写出点 $A_{1} ， C_{1}$ 的坐标；

(2)、四边形 $A C_{1} A_{1} C$ 的面积为．

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23. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 2 m - 2$ 的图象与 $x$ 轴有公共点．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 为正整数时，求此时二次函数与 $x$ 轴的交点坐标．

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24. 如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度 $A B$ 为 $12 m ，$ 拱桥的最高点 $C$ 到水面 $A B$ 的距离为 $6 m$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、因为上游水库泄洪，水面宽度变为 $10 m$ ，求水面上涨的高度﹒

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25. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．

(1)、求证：PD是⊙O的切线；

(2)、若DE= $\sqrt{3}$ ，∠BAC=60°，求⊙O的半径．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $G ： y = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} x + 4 (a \neq 0)$ ．

(1)、抛物线 $G$ 的对称轴为 $x =$ ；

(2)、若在抛物线 $G$ 上有两点 $(2 ， y_{1}) ， (m ， y_{2})$ ，且 $y_{2} > y_{1}$ ，则 $m$ 的取值范围是；

(3)、若抛物线的顶点纵坐标 $t$ 的取值范围为 $0 < t < 3$ ，求 $a$ 的取值范围．

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27. 在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：

(1)、如图1，点 $Р$ 是正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = 1 ， P B = 2 ， P C = 3$ ，你能求出 $∠ A P B$ 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $Δ P B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到 $Δ P' B A$ ，连接 $P P'$ ，可求出 $∠ A P B$ 的度数；

思路二：将 $Δ P A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到 $Δ P' C B$ ，连接 $P P'$ ，可求出 $∠ A P B$ 的度数．

请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

(2)、如图2，若点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 外一点，要使 $∠ A P B = 45^{\circ}$ ，线段PA，PB，PC应满足怎样的等量关系？
请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA，PB，PC满足的等量关系．

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28. 对于平面上两点 $A ， B$ ，给出如下定义：以点 $A$ 或 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径的圆称为点 $A ， B$ 的“共径圆”．点 $A ， B$ 的“共径圆”的示意图如图所示．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，则点 $A ， B$ 的“共径圆”的面积为；

(2)、已知点 $A$ 在以坐标原点为圆心，以 $1$ 为半径的圆上，点 $B$ 在直线 $y = - x + 4$ 上，求点 $A ， B$ 的“共径圆”的半径最小值；

(3)、已知点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 0)$ ，点 $B$ 是 $x$ 轴及 $x$ 轴上方的点，如果直线 $y = x + b$ 上存在两个点 $B$ ，使得点 $A ， B$ 的“共径圆”的面积为 $4 π$ ，直接写出满足条件的 $b$ 的取值范围．

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