山西省孝义市2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四个选项中，不是全等图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 以下是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下面四个图形中，线段 $A D$ 是 $Δ A B C$ 的高的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，若 $∠ 1 = 110 °$ ， $∠ 2 = 125 °$ ，那么 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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5. 如图，已知 $A B = A D$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $Δ A B C ≌ Δ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A C$ C、 $∠ B C A = ∠ D C A$ D、 $∠ B = ∠ D = 90 °$

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6. 如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的距离相等，供水台应该选在（）

A、 $Δ A B C$ 三条角平分线的交点处 B、 $Δ A B C$ 三条中线的交点处 C、 $Δ A B C$ 三条高线所在的直线的交点处 D、 $Δ A B C$ 三条边的垂直平分线的交点处

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7. 若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则它的一个内角为（）

A、 $1080 °$ B、 $720 °$ C、 $140 °$ D、 $135 °$

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8. 如图， $A B / / C D$ ， $A E$ ， $C E$ 分别平分 $∠ C A B$ 和 $∠ A C D$ ，过点 $E$ 分别做 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $E H ⊥ C D$ 于点 $H$ ，延长 $H E$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $E F = 1$ ，则 $G H$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ， $A C = 3$ ，点 $O$ 是三条角平分线的交点，若 $Δ A C O$ 的面积是 $\frac{3}{2}$ ，则 $Δ B O C$ 的 $B C$ 边上的高是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. $A D$ 是 $Δ A B C$ 的中线，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ 和 $A D$ 延长线上的点，且 $D E = D F$ ，分别连接 $B F$ 、 $C E$ ，下列说法：① $B F = C E$ ，② $Δ A B D$ 和 $Δ A C D$ 面积相等，③ $B F / / C E$ ，④ $∠ A C E = ∠ D C E$ ．正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是．

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12. 如图，将一副三角板如图摆放，则图中 $∠ 1$ 的度数是度．

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13. 如图， $Δ A B C$ 的面积是2， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A E = \frac{1}{3} A D$ ， $B F = \frac{1}{2} E F$ ．则 $Δ D E F$ 的面积为．

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14. 如图，将长方形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，若 $∠ E F B = 50 °$ ，则 $∠ E D F$ 的度数为．

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15. 如图，线段 $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 两两相交于点 $H$ ， $I$ ， $G$ ，分别连接 $A B$ ， $C D$ ， $E F$ ．则 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F =$ ．

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三、解答题

16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ．若 $∠ C = 75 °$ ， $∠ B E D = 65 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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17. 如图，点 $B ， E ， C ， F$ 在一条直线上， $A B / / D E$ ， $A C / / D F$ ， $B E = C F$ ．
求证： $Δ A B C ≌ Δ D E F$ ．

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18. 如图， $Δ A B C$ 中， $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (3 ， 4)$ ．

(1)、作 $Δ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标 $A_{1}$ ； $B_{1}$ ； $C_{1}$ ；

(2)、作 $Δ A B C$ 关于直线 $y = - 1$ 对称的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标 $A_{2}$ ； $B_{2}$ ； $C_{2}$

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19. 作图题．

(1)、如图，已知线段 $a ， b ， c$ ．求作 $Δ A B C$ ，使得 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

(2)、①在（1）所作出的图中，作 $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②连接 $B E$ ，若 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 5.5$ ，则 $Δ B C E$ 的周长为（直接写出答案）．

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20. 一位经历过战争的老战土讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战土想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗？

下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．

已知：如图， $A B ⊥ C D$ ，………．

求证：……….．

证明：

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21. 阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线．

求证： $A B + A C > 2 A D$ ．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长 $A D$ 至 $E$ ，使 $D E = A D$ ，

∵ $A D$ 是 $B C$ 边上的中线∴ $B D = C D$

在 $Δ B D E$ 和 $Δ C D A$ 中 ${\begin{array}{l} B D = C D \\ ∠ B D E = ∠ C D A \\ D E = D A \end{array}$

∴ $Δ B D E ≌ Δ C D A$ （依据一）∴ $B E = C A$

在 $Δ A B E$ 中， $A B + B E > A E$ （依据二）

∴ $A B + A C > 2 A D$ ．

(1)、任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：；

依据2：．

(2)、归纳总结：上述方法是通过延长中线 $A D$ ，使 $D E = A D$ ，构造了一对全等三角形，将 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $A D$ 的取值范围是；

(3)、任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 $A B$ 和 $A C$ 为边作等腰直角三角形，在 $R t Δ A B E$ 中， $∠ B A E = 90 °$ ， $A B = A E$ ； $R t Δ A C F$ 中， $∠ C A F = 90 °$ ， $A C = A F$ ．连接 $E F$ ．试探究 $E F$ 与 $A D$ 的数量关系，并说明理由．

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22. 综合与实践．
积累经验

我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，线段 $D E$ 经过点 $C$ ，且 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ .求证： $A D = C E$ ， $C D = B E$ ”这个问题时，只要证明 $Δ A D C ≌ Δ C E B$ ，即可得到解决，

(1)、请写出证明过程；

(2)、如图2，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，求点 $B$ 的坐标．

(3)、如图3， $Δ A B C$ 在平面直角坐标系中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 2)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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