山西省太原市2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各数中的无理数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3.14 C、 $\frac{22}{7}$ D、 $- 0. \overset{\cdot}{3}$

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2. 下列四个点，在正比例函数 $y = 3 x$ 的图象上的是（）

A、 $(1 ， - 3)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(3 ， - 1)$

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3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中．这部著作是（）

A、《九章算术》 B、《周髀算经》 C、《孙子算经》 D、《海岛算经》

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4. $- 8$ 的立方根是（）

A、-2 B、2 C、±2 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 13$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、 $△ A B C$ 不是直角三角形

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6. 如图是一次函数 $y = k x + b$ 的图象，其中 $k$ ， $b$ 满足的条件是（）

A、 $k > 0$ ， $b > 0$ B、 $k > 0$ ， $b < 0$ C、 $k < 0$ ， $b > 0$ D、 $k < 0$ ， $b < 0$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2} = \sqrt{8}$ B、 $| - \sqrt{6} | = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ D、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} = \sqrt{6}$

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8. 如图，平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的边 $O B$ 落在 $x$ 轴上，顶点 $A$ 落在第一象限．若 $O A = A B = 5$ ， $O B = 8$ ，则点 $A$ 的坐标是（）

A、 $(8 ， 5)$ B、 $(4 ， 5)$ C、 $(4 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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9. 同一坐标系中有四条直线： $l_{1}$ ： $y = 2 x + 3$ ， $l_{2}$ ： $y = 2 x - 3$ ， $l_{3}$ ： $y = - 2 x + \frac{1}{3}$ ， $l_{4}$ ： $y = - 2 x - \frac{1}{3}$ ，其中与 $y$ 轴交于点 $(0 ， - \frac{1}{3})$ 的直线是（）

A、直线 $l_{1}$ B、直线 $l_{2}$ C、直线 $l_{3}$ D、直线 $l_{4}$

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10. 今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为 $20 cm$ ，高为 $10 cm$ 的圆柱粮仓模型．如图 $B C$ 是底面直径， $A B$ 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过 $A$ ， $C$ 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）

A、 $20 π cm$ B、 $40 π cm$ C、 $10 \sqrt{2} cm$ D、 $20 \sqrt{2} cm$

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二、填空题

11. 点 $P (- 2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为．

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12. 将二次根式 $\sqrt{12}$ 化为最简二次根式．

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ．以 $A B$ 为边在点 $C$ 同侧作正方形 $A B D E$ ，则图中阴影部分的面积为．

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14. 一次函数 $y = 6 x + 3$ 的图象经过 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} < x_{2}$ 时，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”“＜”或“ $=$ ”）

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15. 如图，平面直角坐标系中，点 $P$ ， $Q$ 的坐标分别为 $(0 ， 2)$ ， $(4 ， 0)$ ，连接 $P Q$ ．请从A，B两题中任选一题作答．我选择题
A．若点 $M$ 是 $x$ 轴负半轴上的一点，且 $M Q = P Q$ ，则点 $M$ 的坐标为．

B．若点 $M$ 是 $y$ 轴上的一点，且 $M P = M Q$ ，则点 $M$ 的坐标为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - \sqrt{5})$

(3)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}}) \times \sqrt{2}$

(4)、 $\sqrt{21} \div \sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \sqrt{28} - \sqrt{700}$

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17. 如图的正方形网格中，有一个不完整的平面直角坐标系，其中 $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ 的坐标分别是 $(- 2 ， 3)$ ， $(- 4 ， 2)$ ，点 $C$ 恰好在格点上．

(1)、请在图中画出 $x$ 轴，并标明原点 $O$ 的位置；

(2)、图中点 $C$ 的坐标为；

(3)、将 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的横坐标分别乘-1，纵坐标不变，得到 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 三点，请在该坐标系中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并直接写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 的位置关系．

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18. 海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震，火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式 $v = \sqrt{g d}$ 计算，其中 $v$ 表示海啸的速度（ $m/s$ ）， $d$ 为海水的深度（ $m$ ）， $g$ 表示重力加速度 $9.8 {m/s}^{2}$ ，若在海洋深度 $980 m$ 处发生海啸，求其行进速度．

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19. 已知一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求 $A$ ， $B$ 两点的坐标并在如图的坐标系中画出此函数的图象．

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20. 如图是一块四边形木板，其中 $A B = 16 cm$ ， $B C = 24 cm$ ， $C D = 9 cm$ ， $A D = 25 cm$ ， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ．李师傅找到 $B C$ 边的中点 $P$ ，连接 $A P$ ， $D P$ ，发现 $△ A P D$ 是直角三角形．请你通过计算说明理由．

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21. 问题情境：“一粒米千滴汗，粒粒粮食汗珠换.”“为积极响应习近平总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示，某送餐公司推出了“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐单价为16元，希望小学每天中午从该送餐公司订200份午餐，其中半份餐订 $x$ 份（ $0 < x \leq 200$ ），其余均为整份餐，该小学每天午餐订单总费用为 $y$ 元．

建立模型：

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若希望小学某天半份餐订了50份，求当天该小学午餐订单的总费用；

(3)、已知某天希望小学午餐订单的总费用为2720元，当天订半份餐多少份？

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22. 数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．
如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中 $△ A B C ≌ △ E A D$ ， $∠ A C B = ∠ E D A = 90 °$ ， $B C = A D = a$ ， $A C = E D = b (b > a)$ ， $A B = E A = c$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，点 $B$ ， $E$ 在边 $A C$ 异侧，拼成的 $∠ B A E = 90 °$ ，

试说明： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

验证如下：连接 $C E$ ， $B E$ ．

∵点 $D$ 在线段 $A C$ 上，

∴ $D C = A C - A D = b - a$ ．

∵ $S_{四边形 A B C E} = S_{△ A B C} + S_{△ A D E} + S_{△ C D E}$ ．

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23. 综合与探究
如图1，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 6$ 的图象交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象与直线 $A B$ 交于点 $C (m ， 3)$ ．

(1)、求 $m$ 的值并直接写出线段 $O C$ 的长；

(2)、如图2，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，且与 $O$ ， $C$ 不重合，过点 $D$ 作 $D E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交线段 $C B$ 于点 $F$ ．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择题（）题．

A．若点 $D$ 的横坐标为4，解答下列问题：

①求线段 $D F$ 的长；

②点 $P$ 是 $x$ 轴上的一点，若 $△ P D F$ 的面积为 $△ C D F$ 面积的2倍，直接写出点 $P$ 的坐标；

B．设点 $D$ 的横坐标为 $a$ ，解答下列问题：

①求线段 $D F$ 的长，用含 $a$ 的代数式表示；

②连接 $C E$ ，当线段 $C D$ 把 $△ C E F$ 的面积分成 $1 ： 2$ 的两部分时，直接写出 $a$ 的值．

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