湖南省益阳市赫山区2019-2020学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 3的平方根是（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm 3$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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2. 若 $m > n$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $m - 2 < n - 2$ B、 $\frac{m}{3} > \frac{n}{3}$ C、 $4 m < 4 n$ D、 $- 5 m > - 5 n$

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3. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x应满足的条件是（）

A、x = -1 B、x ≠ -1 C、x = ±1 D、x = 1

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4. 把分式 $\frac{b}{a b + 3 b}$ 约分得（）

A、 $b + 3$ B、 $a + 3$ C、 $\frac{1}{b + 3}$ D、 $\frac{1}{a + 3}$

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5. 已知三角形三边长3，4， $x$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x < 7$ C、 $1 < x < 7$ D、 $- 1 < x < 7$

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6. 如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别代表的是（）

A、分式的基本性质，最简公分母 $= 0$ B、分式的基本性质，最简公分母 $\neq 0$ C、等式的基本性质2，最简公分母 $= 0$ D、等式的基本性质2，最简公分母 $\neq 0$

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7. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 等式 $\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 1}} = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 1}}$ 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(-2)}^{2}} = - 2$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

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10. 如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（）

A、-2 B、 ${(- 1)}^{- 2}$ C、0 D、 ${(- 1)}^{2019}$

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二、填空题

11. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为．

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12. 若 $\sqrt{3 - x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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13. 已知 $a < \sqrt{7} < b$ ，且 $a$ ， $b$ 为两个连续的整数，则 $a + b =$ .

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14. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的平分线交于 $P$ 点， $∠ B P C = 126 °$ ，则 $∠ B A C =$ ．

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15. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x + 8 > 4 x - 1, \\ x < m . \end{array}$ 的解集是 $x < 3$ ，则m的取值范围是．

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16. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车 $x$ 辆，则列出的不等式为．

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17. 在学习平方根的过程中，同学们总结出：在 $a' = N$ 中，已知底数 $a$ 和指数 $x$ ，求幂 $N$ 的运算是乘方运算：已知幂 $N$ 和指数 $x$ ，求底数 $a$ 的运算是开方运算．小明提出一个问题： “如果已知底数 $a$ 和幕 $N$ ，求指数 $x$ 是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：

小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：

∵ $3^{1} = 3$ ，∴ $\log_{3} 3 = 1$ ；

∵ $3^{2} = 9$ ，∴ $\log_{3} 9 = 2$ ；

∵ $3^{3} = 27$ ，∴ $\log_{3} 27 = 3$ ；

∵ $3^{4} = 81$ ，∴ $\log_{3} 81 = 4$ ；

计算： $\log_{2} 64 =$ ．

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三、解答题

18. 如图， $A B$ ， $C D$ 交于点 $O$ ， $A D ∥ B C$ . 请你添加一个条件，使得 $△ A O D ≌ △ B O C$ ，并加以证明.

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19. 计算： $\sqrt{\frac{1}{3}} \times (\sqrt{24} - \frac{3}{2} \sqrt{6})$

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20. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}) \cdot \frac{9 - 3 x}{2 x}$ ，其中x= $\sqrt{3}$ -3.

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21. 解方程 $\frac{3}{2} + \frac{1}{3 x - 1} = \frac{2}{6 x - 2}$ ．

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22. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x + 1) \leq 3 \\ \frac{x + 2}{2} \geq \frac{x + 3}{3} \end{array}$ ，并求出不等式组的整数解之和．

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23. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

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24. 下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．

求作：△ABC中BC边上的高线AD．

作法：如图，

①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；

②连接AE交BC于点D．

所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵=BA，=CA，

∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）．

∴BC垂直平分线段AE．

∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．

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25. 某学校计划选购 $A$ 、 $B$ 两种图书．已知 $A$ 种图书每本价格是 $B$ 种图书每本价格的2.5倍，用1200元单独购买 $A$ 种图书比用1500元单独购买 $B$ 种图书要少25本．

(1)、A、B两种图书每本价格分别为多少元？

(2)、如果该学校计划购买 $B$ 种图书的本数比购买 $A$ 种图书本数的2倍多8本，且用于购买 $A$ 、 $B$ 两种图书的总经费不超过1164元，那么该学校最多可以购买多少本 $B$ 种图书？

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26. 阅读：对于两个不等的非零实数 $a$ 、 $b$ ，若分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则 $x = a$ 或 $x = b$ ．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于 $x$ 的方程 $x + \frac{a b}{x} = a + b$ 有两个解，分别为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．应用上面的结论解答下列问题：

(1)、方程 $x + \frac{p}{x} = q$ 的两个解分别为 $x_{1} = - 2$ 、 $x_{2} = 3$ ，则 $P =$ ， $q =$ ；

(2)、方程 $x + \frac{7}{x} = 8$ 的两个解中较大的一个为；

(3)、关于 $x$ 的方程 $2 x + \frac{n^{2} + n - 6}{2 x - 1} = 2 n + 2$ 的两个解分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），求 $\frac{x_{1} + 3}{2 x_{2} + 1}$ 的 $\frac{x_{1} + 3}{2 x_{2} + 1} = \frac{\frac{n - 1}{2} + 3}{2 \cdot \frac{n + 4}{2} + 1} = \frac{\frac{n + 5}{2}}{n + 5} = \frac{1}{2}$

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