上海市浦东新区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. “ $x^{2} - x - 6 = 0$ ”是“ $x = 3$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 如果集合 $P = {x | x = 2 k, k \in N}$ ， $M = {x | x = 2^{2 k + 1}, k \in N}$ ，那么集合 $P$ 、 $M$ 之间的关系是（）

A、 $M \subseteq P$ B、 $P \subseteq M$ C、 $P = M$ D、 $P 、 M$ 互不包含

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3. 若 $b < a$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b < a^{2}$ B、 $b^{2} < a^{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $| a | + | b | \geq | a + b |$

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4. 在下列选项中，满足 $p$ 与 $q$ 等价的是（）

A、已知实数 $x$ 、 $y$ ， $p : {\begin{array}{l} x + y > 2 \\ x y > 1 \end{array}$ 和 $q : x > 1$ ， $y > 1$ B、已知实数 $x$ 、 $y$ ， $p : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0$ 和 $q : (x - 1) (y - 2) = 0$ C、已知实数 $x$ ， $p : 0 < \frac{1}{x} < 1$ 和 $q : x > 1$ D、已知 $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $c_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $c_{2}$ 均为非零实数，不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 和不等式 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的实数解集分别为 $M$ 和 $N$ ， $P : \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 和 $q : M = N$

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二、填空题

5. 用 $\in$ 或 $\notin$ 填空：0 $N$

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6. 化简 $\frac{2}{\sqrt[3]{2^{2}}} =$ .

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7. 已知集合 $A = {x | x > 3}$ ， $B = {x | x > 5}$ ，则 $A \cap B =$

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8. 关于 $x$ 的不等式 $a x + 2 < 0$ 的解集为 $(1, + \infty)$ ，则实数 $a =$

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9. 不等式 ${(x - 2)}^{2} \leq 4$ 的解集为

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10. 若 ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是

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11. 若关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + (k - 1) x + 4 \leq 0$ 的解集为 ${2}$ ，则实数 $k =$

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12. 已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为．

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13. 集合 $P = {x | a x^{2} + 4 x + 4 = 0, x \in R}$ 中只含有1个元素，则实数 $a$ 的取值是

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14. 方程 $| x - 1 | + | x - 3 | = 2$ 的解集为

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15. 已知 $A = {x | | x - 1 | \leq a}$ ，若 $A$ 只有1个整数元素，则实数 $a$ 的取值范围是

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16. 设 $P$ 为非空实数集满足：对任意给定的 $x 、 y \in P$ （ $x 、 y$ 可以相同），都有 $x + y \in P$ ， $x - y \in P$ ， $x y \in P$ ，则称 $P$ 为幸运集.
①集合 $P = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ 为幸运集；②集合 $P = {x | x = 2 n, n \in Z}$ 为幸运集；

③若集合 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 为幸运集，则 $P_{1} \cup P_{2}$ 为幸运集；④若集合 $P$ 为幸运集，则一定有 $0 \in P$ ；

其中正确结论的序号是

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 \geq \frac{x + 3}{x + 1} \\ | 2 x - 3 | \leq 2 \end{array}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | \frac{- x + 6}{x^{2} + 2 x + 2} < 0}$ ， $B = {x | (x - a) (x - a - 1) \leq 0}$ .

(1)、求集合 $A$ 、 $B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某生产消毒液企业每天能生产30000瓶消毒液，每瓶消毒液的生产成本为3元钱，由于受到疫情影响，该生产消毒液企业迅速组织各方面力量扩大生产规模，每天增加生产 $x$ （ $x > 0$ ）瓶消毒液，同时每瓶消毒液生产成本增加 $\frac{10000}{x}$ 元，设该企业扩大生产规模后每天投入的总生产成本为 $p$ 元.

(1)、请用 $x$ 的表达式表示出 $p$ ；

(2)、试问该生产消毒液企业每天增加生产多少瓶消毒液，才能使得每天投入的生产成本最小？并求出此时 $p$ 的值.

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20. 命题甲：关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 m x + m = 0$ 无实根；命题乙：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 有两个不相等的正根，设命题甲、命题乙为真命题时实数 $m$ 的取值分别组成集合 $A$ 、 $B$ .

(1)、求集合 $A$ 、 $B$ ；

(2)、若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知 $y = m x^{2} + (m + 3) x + m$ .

(1)、 $m$ 取什么实数时，关于 $x$ 的不等式： $y < 0$ 解集为 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty)$ ；

(2)、 $m$ 取什么实数时，关于 $x$ 的不等式： $\frac{y}{x} > 0$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立.

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