上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果曲线 $C$ 上任一点的坐标都是方程 $F (x, y) = 0$ 的解，那么下列命题中正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $F (x, y) = 0$ B、 $F (x, y) = 0$ 的曲线是 $C$ C、以方程 $F (x, y) = 0$ 的解为坐标的点都在曲线 $C$ 上 D、曲线 $C$ 上的点都在方程 $F (x, y) = 0$ 的曲线上

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2. 直线 $l : y - k x - 1 = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 恒有公共点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 5)$ C、 $[1, 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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3. 若圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + a)}^{2} = a^{2}$ 被直线 $l$ ： $x + y + 2 = 0$ 分成的两段弧长之比是 $1 ： 3$ ，则满足条件的圆 $C$ （）

A、有一个 B、有两个 C、有三个 D、有四个

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4. 已知 $P_{1} (a_{1} ， b_{1})$ 与 $P_{1} (a_{2} ， b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1$ ( $k$ 为常数)上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = 1 \\ a_{2} x + b_{2} y = 1 \end{array}$ 的解的情况是（）

A、无论 $k 、 P_{1} 、 P_{2}$ 如何,总是无解 B、无论 $k 、 P_{1} 、 P_{2}$ 如何,总有唯一解 C、存在 $k 、 P_{1} 、 P_{2} ，$ 使之恰有两解 D、存在 $k 、 P_{1} 、 P_{2} ，$ 使之有无穷多解

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二、填空题

5. 直线 $2 x - y + 1 = 0$ 的一个法向量为.

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6. 直线 $3 x - \sqrt{3} y - 5 = 0$ 的倾斜角大小为.

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ （ $a > 3$ ）的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，弦 $A B$ 过点 $F_{1}$ ，则△ $A B F_{2}$ 的周长是．

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8. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 \\ x + y \geq 4 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最大值为．

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9. 已知矩阵A= $(\begin{matrix} x & - 3 \\ y & 0 \end{matrix})$ ，B= $(\begin{matrix} - 2 y & 0 \\ - y & 11 - 2 x \end{matrix})$ ，C= $(\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ，且A+B=C，则x+y的值为．

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10. 若行列式 $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 - a & 3 a \\ 1 & a - 1 & a \end{matrix} |$ 中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a= ．

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上的一点，当 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 时，△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积是．

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12. 对任意实数 $m$ ，圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m x - 4 m y + 6 m - 2 = 0$ 恒过定点，则其坐标为.

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13. 直线 $x - 3 y + 5 = 0$ 关于直线 $y = x$ 对称的直线方程为

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14. 设直线 $a x - y + 3 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于A,B两点，且弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a$ =.

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15. 以 $A B$ 为直径的半圆， $| \vec{A B} |_{} = 2$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $F$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的某一点，若 $\vec{A C}$ ∥ $\vec{O F}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$

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16. 在平面直角坐标系中，如果 $x$ 与 $y$ 都是整数，就称点 $(x, y)$ 为整点，下列命题中正确的是．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

② 如果 $k$ 与 $b$ 都是无理数，则直线 $y = k x + b$ 不经过任何整点；

③ 如果直线 $l$ 经过两个不同的整点，则直线 $l$ 必经过无穷多个整点；

④ 直线 $y = k x + b$ 经过无穷多个整点的充分必要条件是： $k$ 与 $b$ 都是有理数．

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三、解答题

17. 求圆心为 $(1, 1)$ 且与直线 $x + y = 4$ 相切的圆的标准方程．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 时，求 $x$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围．

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19. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (m, n)$ 、 $B (2, 1)$ 、 $C (- 2, 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在直线的方程；

(2)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 的方程为 $2 x - 3 y + 6 = 0$ ，且 $S_{Δ A B C} = 7$ ，求点A的坐标.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线 $l$ 过点 $A (- a, 0)$ ，且与椭圆相交于另一点 $B$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若线段 $A B$ 长为 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角．

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21. 设 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向上的单位向量分别是 $\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j}$ ，坐标平面上点列 $A_{n} 、 B_{n} (n \in N^{*})$ 分别满足下列两个条件：① $\overset{⇀}{O A_{1}} = \overset{⇀}{j}$ 且 $\overset{⇀}{A_{n} A_{n + 1}} = \overset{⇀}{i} + \overset{⇀}{j}$ ；② $\overset{⇀}{O B_{1}} = 4 \overset{⇀}{i}$ 且 $\overset{⇀}{B_{n} B_{n + 1}} = \frac{1}{n (n + 1)} \times 4 \overset{⇀}{i}$ ；

(1)、写出 $\overset{⇀}{O A_{2}}$ 及 $\overset{⇀}{O A_{3}}$ 的坐标，并求出 $\overset{⇀}{O A_{n}}$ 的坐标

(2)、若 $Δ O A_{n} B_{n + 1}$ 的面积是 $a_{n}$ ，求 $a_{n} (n \in N^{*})$ 的表达式

(3)、对于（2）中的 $a_{n}$ ，是否存在最大的自然数 $M$ ，对一切 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n} \geq M$ 成立？若存在，求出 $M$ ，若不存在，说明理由

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