上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $A C = 8$ ， $∠ C = 60 °$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A}$ 的值等于（）

A、20 B、-20 C、 $20 \sqrt{3}$ D、- $20 \sqrt{3}$

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2. 数列的通项 $a_{n} = {(1 - 2 x)}^{n}$ ，若 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ 存在，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[0 ， \frac{1}{2})$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1)$

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3. 若直线 $l$ 过点 $A (4 ， 1)$ ， $B (3 ， a^{2}) (a \in R)$ ，则直线的倾斜角取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， π)$ C、 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， π)$

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4. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）.
① $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ；② $| \vec{a} | = | \vec{b} | \Leftrightarrow | \vec{a} \cdot \vec{c} | = | \vec{b} \cdot \vec{c} |$ ；

③ $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ；④ $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a} / / \vec{b}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

5. 直线 $x + y + 1 = 0$ 的一个方向向量是.

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6. 经过点 $(- 1 ， - 1)$ 且与直线 $x + 3 y + 4 = 0$ 垂直的直线的点法向式方程为.

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7. 已知直线l₁：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l₂：mx＋3y－2＝0平行，则m=.

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, 4)$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 的方向上的投影为

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9. 已知 $\vec{a} = (- \sqrt{3} ， 1)$ ，则与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量 $\vec{a_{0}} =$ .

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10. 直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{d} = (1 ， 2)$ ，则 $l$ 与 $x - y = 0$ 的夹角大小为.（用反三角函数表示）

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11. 设 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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12. 已知点 $(3 ， 1)$ ， $(- 4 ， 6)$ 在直线 $3 x - 2 y + a = 0$ 的两侧，则 $a$ 的取值范围是.

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13. 已知无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的各项和为4，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是．

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14. 已知 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为 $30 °$ ， $| \vec{O C} | = 2 \sqrt{3}$ ，用 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 表示 $\vec{O C}$ ，则 $\vec{O C} =$ .

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15. 定义 $\vec{a} * \vec{b}$ 是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的“向量积”，它的长度 $| \vec{a} * \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$ ，其中 $θ$ 为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角，若 $\vec{u} = (2 ， 0)$ ， $\vec{u} - \vec{v} = (1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{u} * \vec{v} | =$ .

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16. 设函数 $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ ，点 $A_{0}$ 表示坐标原点， $A_{n} (n ， f (n))$ $(n \in N^{*})$ ，若向量 $\overset{⇀}{a_{n}} = \overset{⇀}{A_{0} A_{1}} + \overset{⇀}{A_{1} A_{2}} + \dots + \overset{⇀}{A_{n - 1} A_{n}}$ ， $θ_{n}$ 是 $\overset{⇀}{a_{n}}$ 与 $\overset{⇀}{i}$ 的夹角，（其中 $\overset{⇀}{i} = (1 ， 0)$ ）设 $S_{n} = \tan θ_{1} + \tan θ_{2} + \dots + \tan θ_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ .

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三、解答题

17. 已知三角形的三个顶点是 $A (4 ， 0)$ ， $B (6 ， - 7)$ ， $C (0 ， - 3)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (6 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， k)$ ，当 $k$ 为何值时，

(1)、 $\vec{a} / / \vec{b}$ ；

(2)、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；

(3)、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角.

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19. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{a} - k \vec{b} | = \sqrt{3} | k \vec{a} + \vec{b} | (k > 0)$ .

(1)、试用 $k$ 表示 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，并求出 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值及此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的值.

(2)、当 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 取得最大值时，求实数 $λ$ ，使 $| \vec{a} + λ \vec{b} |$ 的值最小，并对这一结果做出几何解释.

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20. 过点 $P (4, 1)$ 作直线𝑙分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.

(1)、当△AOB面积最小时，求直线𝑙的方程；

(2)、当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线𝑙的方程.

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21. 如图，射线 $O A$ ， $O B$ 所在直线的方向向量分别为 $\vec{d_{1}} = (1 ， k)$ ， $\vec{d_{2}} = (1 ， - k) (k > 0)$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 内， $P M ⊥ O A$ 于 $M$ ， $P N ⊥ O B$ 于 $N$ .

(1)、若 $k = 1$ ， $P [\frac{3}{2} ， \frac{1}{2}]$ ，求 $| O M |$ 的值；

(2)、若 $P (2 ， 1)$ ， $△ O M P$ 的面积是 $\frac{6}{5}$ ，求 $k$ 的值；

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