天津市部分区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {y | y = 2 x - 1, x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 下列函数中是奇函数的为（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ D、 $f (x) = 2 x + 1$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x \in {x | 2 - x \geq 0}$ ”是“ $x \in {x | 0 \leq x \leq 2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一元二次不等式 $x^{2} + p x + q < 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ ，则 $p + q =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、0 D、1

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5. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 > 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 > 0$

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6. 下列函数中，在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = - 3 x - 2$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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7. 下列不等式中成立的是（）

A、 $a > b > 0 \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a < b < 0 \Rightarrow a^{2} < a b < b^{2}$ D、 $a > b > 0 \Rightarrow a^{2} > b^{2}$

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8. 函数 $y = 2 x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (x + 4), x \geq 0 \\ x (x - 4), x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) \leq 5$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 5, 5]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 5] \cup [5, + \infty)$

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二、填空题

10. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {2, 3, 5}$ ，集合 $B = {1, 3, 4, 6}$ ，则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ ；

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11. 函数 $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 3}$ 的定义域为.

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12. 函数 $y = x^{2} - 2 x$ ， $x \in [0, 2]$ 的值域为.

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13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (3) =$ .

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14. 二次函数 $f (x) = 3 x^{2} - m x + 1$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + | x | - 1$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，求：

(1)、 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、 $A \cap (∁_{R} B)$ .

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17. 已知一元二次方程 $4 x^{2} - 4 m x + m + 2 = 0 (x \in R)$ 有两个不等实根 $α, β$ .

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $α > 0$ 且 $β > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ .

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图像；

(2)、求出函数 $f (x)$ 的解析式.

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{k}{x} (x \in R)$ ，且 $f (1) = f (2)$ .

(1)、求 $k$ ；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(\sqrt{2}, + \infty)$ 上单调递增.

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20. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

(1)、当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)、当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

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