山西省怀仁市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关系中正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset$ ⫋ ${0}$ C、 ${0, 1} \subseteq {(0, 1)}$ D、 ${(a, b)} \subseteq {(b, a)}$

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2. 与集合 $A = {(x, y) | {\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 2 x - y = 2 \end{array}}$ 表示同一集合的是（）

A、 ${x = 1, y = 0}$ B、 ${1, 0}$ C、 ${(x, y) | 1, 0}$ D、 ${(1, 0)}$

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3. 命题“ $\forall$ x>0，x²－2x＋4<0”的否定为（）

A、 $\forall$ x<0，x²－2x＋4≥0 B、 $\exists$ x₀>0，x₀²－2x₀＋4≥0 C、 $\forall$ x≤0，x²－2x＋4≥0 D、 $\exists$ x>0，x₀²－2x₀＋4>0

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4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、y＝ $\sqrt{x^{2}}$ ，v＝( $\sqrt{t}$ )² B、y＝ $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ，y＝x＋1 C、y＝|x|，y＝ $\sqrt{t^{2}}$ D、y＝x，y＝ $\frac{x^{2}}{x}$

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5. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 8}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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7. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 3$ 在区间 $(- \infty, 4)$ 上是单调递增的，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{4}, 0)$ D、 $[- \frac{1}{4}, 0]$

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8. 下列判断正确的为（）

A、函数f(x)＝ $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 2}$ 是奇函数 B、函数f(x)＝(1－x) $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ 是偶函数 C、函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数 D、函数f(x)＝ $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x + 3 | - 3}$ 是奇函数

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9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 下列说法不正确的是（）

A、x＋ $\frac{1}{x}$ (x>0)的最小值是2 B、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 C、 $\frac{x^{2} + 2}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ D、若x>0，则2－3x－ $\frac{4}{x}$ 的最大值是2－4 $\sqrt{3}$

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} k x + 2, x \leq 1 \\ x^{2} - k x + 3 k, x > 1 \end{matrix}$ 在R上为单调增函数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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12. 若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，0)上有（）

A、最小值－8 B、最大值－8 C、最小值－6 D、最小值－4

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二、填空题

13. 已知函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} x^{2} - 1 ， x \leq 0 \\ - 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2))$ ＝.

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14. 已知函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则 $f (2 x + 1)$ 的定义域为

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15. 设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f( $\frac{2020}{x}$ )＝3x，则f(x)＝.

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16. 已知 $a > b$ ，二次三项式 $a x^{2} + 4 x + b \geq 0$ 对于一切实数x恒成立，又 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $a x_{0}^{2} + 4 x_{0} + b = 0$ 成立，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知集合A={4，a²+4a+2}，B={-2，7，2-a}．

(1)、若A∩B={7}，求A∪B；

(2)、若集合A⊆B，求A∩B．

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18. 已知函数 $f (x) = | x | (x + 1)$ ，试画出 $f (x)$ 的图象，并根据图象解决下列两个问题．

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ 上的最大值．

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19. 设函数f(x)＝ax²＋(b－2)x＋3(a≠0).

(1)、若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求a，b的值；

(2)、若当f(1)＝2，且a>0，b>－1，求 $\frac{4 a + b + 1}{a b + a}$ 的最小值.

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20. 山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇，加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元，每生产设备 $x (x > 0)$ 台，需另投入成本 $y_{1}$ 万元.若年产量不足80台，则 $y_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；若年产量不小于80台，则 $y_{1} = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ .每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.

(1)、写出年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的关系式；

(2)、年产量为多少台时，该企业所获利润最大？

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21. 已知命题：“ $\forall$ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x²－x－m<0成立”是真命题.

(1)、求实数m的取值集合B；

(2)、设不等式x²－(4a＋2)x＋3a²＋6a<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数f(x)是定义在区间[－2，2]上的奇函数，且f(－2)＝1，若对于任意的m，n∈[－2，2]有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} < 0$ .

(1)、判断函数的单调性，并写出证明过程.

(2)、解不等式f(2x＋3)＋f(x－1)<0

(3)、若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－2，2]，a∈[－2，2]恒成立，求实数t的取值范围.

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