河北省沧州市七校联盟2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列命题是全称量词命题的是（）

A、有一个偶数是素数 B、至少存在一个奇数能被15整除 C、有些三角形是直角三角形 D、每个四边形的内角和都是 $360 °$

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2. 已知集合 $A = {2, 4, 6}$ ， $B = {1, 3, 4, 6}$ ，则 $A \cup B$ 中元素的个数是（）

A、2 B、5 C、6 D、7

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3. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ ，则p的否定是（）

A、 $\exists x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ B、 $\forall x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R, 2 x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$

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4. “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知集合 $M = {a, 2 a - 1, 2 a^{2} - 1}$ ，若 $1 \in M$ ，则 $M$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、1 C、-3 D、-1

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6. 已知 $a, b \in (0, + \infty)$ ， $x = a^{5} + b^{5}$ ， $y = a^{4} b + a b^{4}$ ， $z = a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}$ ，则（）

A、 $x \leq y \leq z$ B、 $y \leq z \leq x$ C、 $z \leq x \leq y$ D、 $z \leq y \leq x$

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7. 已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x^{3}$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-4 B、12 C、36 D、80

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8. 某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为 $x$ 元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 $x$ 应满足（）

A、 $6 ⩽ x ⩽ 7$ B、 $5 ⩽ x ⩽ 7$ C、 $5 ⩽ x ⩽ 6$ D、 $4 ⩽ x ⩽ 6$

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二、多选题

9. 下列命题为假命题的是（）

A、 $y = x^{2}$ 是奇函数 B、若 $x \in Q$ ，则 $x \in R$ C、 $y = 2 x$ 是幂函数 D、 $\exists x_{0} \in [0, 1]$ ， $x_{0}^{2} = \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{4} - x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、方程 $f (x) = 0$ 的解的个数为2 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$

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11. 设不大于 $x$ 的最大整数为 $[x]$ ，如 $[3.6] = 3$ ．已知集合 $A = {x | [x] = - 1}$ ， $B = {x | 0 < [2 x + 2] < 3}$ ，则（）

A、 $A = {x | - 1 \leq x < 0}$ B、 $A \cup B = {x | - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}}$ C、 $[- \sqrt{10}] = - 3$ D、 $A \cap B = {x | - \frac{1}{2} \leq x < 0}$

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12. 已知 $1 < x < 3$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + \frac{4}{3 - x}$ 的值可能为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、6 D、 $\frac{13}{2}$

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三、填空题

13. 若集合 $A = {x \in N | x^{2} < 24}$ ， $B = {a}$ ， $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的最大值为．

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14. 若正数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 1$ ，则 $x y$ 的最小值为.

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15. 对非空有限数集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 定义运算“min”： $\min A$ 表示集合 $A$ 中的最小元素．现给定两个非空有限数集 $A$ ， $B$ ，定义集合 $M = {x | x = | a - b |, a \in A, b \in B}$ ，我们称 $\min M$ 为集合 $A$ ， $B$ 之间的“距离”，记为 $d_{A B}$ ．现有如下四个命题：
①若 $\min A = \min B$ ，则 $d_{A B} = 0$ ；②若 $\min A > \min B$ ，则 $d_{A B} > 0$ ；

③若 $d_{A B} = 0$ ，则 $A \cap B \neq \emptyset$ ；④对任意有限集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，均有 $d_{A B} + d_{B C} ⩾ d_{A C}$ ．

其中所有真命题的序号为．

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四、双空题

16. 已知幂函数 $y ＝ f (x)$ 经过点 $(- 2, - 8)$ ，则 $f (x)$ ＝，不等式 $f (x) < 27$ 的解集为.

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五、解答题

17. 在① $B = {x ∣ - 1 < x < 4}$ ，② $∁_{R} B = {x ∣ x > 6}$ ，③ $B = {x ∣ x \geq 7}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题：已知集合 $A = {x ∣ a < x < 10 - a}$ ，_______，若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18.

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \sqrt{5 - x}}{x - 1}$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、已知函数 $f (x) = - 2 x + \frac{1}{x}$ ，依据函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，并求该函数在 $[1, 3]$ 上的值域.

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19. 已知集合 $A = {2, 6}$ .

(1)、若集合 $B = {a + 1, a^{2} - 23}$ ，且 $A = B$ ，求 $a$ 的值；

(2)、如集合 $C = {x | a x^{2} - x + 6 = 0}$ ，且 $A$ 与 $C$ 有包含关系，求 $a$ 的取值范围.

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20. 当 $b \neq 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} - 2 x + 2 - b \leq 0$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = | x - 2 |$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $m a x {a, b} = {\begin{array}{l} a, a \geq b \\ b, a < b \end{array}$ .已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $h (x) = m a x {f (x), g (x)}$ .
①求 $h (x)$ 的单调区间；

②若关于 $x$ 的方程 $h (x) = m$ 有两个实数解，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (\frac{x}{2}) = x^{2} - 2 t x + 2 t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, n]$ 上的最小值；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $t \in (0, + \infty)$ ， $- \frac{x^{4} + x^{2} + 7}{x^{2} + 1} \leq a \leq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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