天津市八校2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x > 0}$ ， $B = {x | 2^{x} > 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x > 1}$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \cup B = {x | x > 1}$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x - 1, 2), \vec{b} = (2, 1)$ ,则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 5$ D、 $x = 0$

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A M}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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4. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = 3^{- 0.2}$ ， $c = 3^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为 $6 π$ ，则这个正四棱柱的体积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x}{y} > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 4$ 或 $m \leq - 2$ B、 $m \geq 2$ 或 $m \leq - 4$ C、 $- 4 < m < 2$ D、 $- 2 < m < 4$

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7. 设 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1) + a x^{2} - a + 1$ （ $a$ 为常数），则不等式 $f (3 x + 5) > - 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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8. 将函数 $f (x) = \sin x$ 的图像先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， \frac{2}{9}]$ C、 $(0 ， \frac{2}{9}] \cup [\frac{2}{3} ， \frac{8}{9}]$ D、 $(0 ， \frac{2}{9}] \cup [\frac{8}{9} ， 1]$

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9. 已知定义在R上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 1 \\ | x^{2} - x | ， x ⩽ 1 \end{array}$ ，若函数 $k (x) = f (x) - a x$ 恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{e} ， 1) \cup {0}$ D、 $(- 1 ， 0) \cup {0} \cup (\frac{1}{e} ， 1)$

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二、填空题

10. 设函数 $f （ x ） = {\begin{matrix} 2^{1 - x}, x \leq 1 \\ 1 - {log}_{2} x, x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f （ 4 ）] =$ ．

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11. 设曲线 $y = a x - \ln (x + 1)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为 $3 x - y = 0$ ，则 $a =$ .

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12. 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为.

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13. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 若 $2 \sin A \cos B = \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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14. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $AB=AD = 1$ .若点E为 $D C$ 上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为.

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三、双空题

15. 已知 $a, b$ 均为正实数，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{8 a^{2} + 1}{a b}$ 的最小值为，此时 $a$ 的值为.

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四、解答题

16. 已知 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中 $\vec{a} = (2 \cos x ， - \sqrt{3} \sin 2 x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， 1)$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (A) = - 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ，且向量 $\vec{m} = (3 ， \sin B)$ 与 $\vec{n} = (2 ， \sin C)$ 共线，求边长 $b$ 和 $c$ 的值．

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17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ＝ 2 n^{2}$ ， ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} ＝ b_{1}$ ， $b_{2} (a_{2} － a_{1}) ＝ b_{1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $P A = 4$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ ．

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的余弦值；

(3)、设 $Q$ 为棱 $C P$ 上的点（不与 $C$ ， $P$ 重合），且直线 $Q E$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{C Q}{C P}$ 的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = a_{n + 1} + 2 n - 8, n \in N^{*}, a_{1} = 8$ ，设 $b_{n} = a_{n} - 2$ .

(1)、证明： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{a_{n}}{(2^{n} + 1) (2^{n + 1} + 1)}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}, λ ⩾ T_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x ln x + a x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当时 $x > 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，证明： $\frac{e (x - 1)}{e^{x}} < ln x$ $< x^{2} - x$ .

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