山西省怀仁市2021届高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列集合中，表示方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解集的是（）

A、 ${2, 1}$ B、 ${x = 2, y = 1}$ C、 ${(2, 1)}$ D、 ${(1, 2)}$

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2. 若 $α ， β \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{10}$

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3. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

x

1.992

3

4

5.15

6.126

y

1.517

4.0418

7.5

12

18.01

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$ C、 $y = \log_{2} x$ D、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

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4. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 $\overset{⇀}{O P} = x \bar{O A} + y \overset{⇀}{O B} + z \bar{O C} (x ， y ， z \in R)$ ，则 $x = 2$ ， $y = - 3$ ， $z = 2$ 是P，A，B，C四点共面的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 向右平移 $φ (0 \leq φ \leq π)$ 个单位后得到函数 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[0, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 \sqrt{3} a b \sin C$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

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7. 若函数 $f (x) = e^{| 2 x - m |}$ ，且 $f (2 x - 1) = f (1 - 2 x)$ ，则 $f (\ln 3) + f (- \ln 3) =$ （）

A、0 B、 $9 e + \frac{9}{e}$ C、12 D、18

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8. 已知函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 恒有 $f^{'} (x) > \frac{2 f (x)}{x}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，若 $α ， β$ 为锐角三角形的两个内角，则下列正确的是（）

A、 $\cos^{2} β f (\sin α) < \sin^{2} α f (\cos β)$ B、 $\sin^{2} β f (\sin α) > \sin^{2} α f (\sin β)$ C、 $\cos^{2} β f (\cos α) > \cos^{2} α f (\cos β)$ D、 $\sin^{2} β f (\cos α) < \cos^{2} α f (\sin β)$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} + \sin x}{x^{2} + 1}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，则 $f (2020) + f (- 2020) + f^{'} (2019) - f^{'} (- 2019) =$ （）

A、0 B、2 C、2019 D、2020

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10. 关于函数 $f (x) = \sin x + \cos | x |$ 有下述四个结论：① $f (x)$ 的周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增；③函数 $y = f (x) - 1$ 在 $[- π ， π]$ 上有3个零点；④函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{2}$ .其中所有正确结论的编号为（）

A、①④ B、② C、①③④ D、①②④

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11. 对于 $\forall x_{1} \in (1, 2)$ ， $\exists x_{2} \in (1, 2)$ ，使得 $\frac{4 x_{1}^{2} - 8 x_{1} + 5}{x_{1} - 1} = \frac{m x_{2} - m + 2}{x_{2} - 1}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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12. 定义： $M_{1}$ 表示函数 $y = f (x)$ 在 $I$ 上的最大值，已知奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (4 - x)$ ，且当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x) = x$ ，正数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} \geq 2 M_{[a ， 2 a]}$ 则（）

A、 $M_{[0 ， a]} = 2$ B、 $M_{[0 ， a]} = 9$ C、 $a$ 的取值范围为 $[4 ， 9]$ D、 $a$ 的取值范围为 $[6 ， 9]$

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二、填空题

13. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{x + 2} < 0}$ ，则 $A \cap B =$ .

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14. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $N$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 是边 $C B$ （包括端点）上的一个动点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B N}$ 的最小值是.

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15. 已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m}{2} x^{2} - 6 x + 1$ 在 $(- 1 ， 1)$ 单调递减，则 $m$ 的取值范围为．

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16. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数 $x, y$ 满足： $f (2) = 2, f (x y) = x f (y) + y f (x)$ , $a_{n} = \frac{f (2^{n})}{2^{n}} (n \in$ $N^{*})$ , $b_{n} = \frac{f (2^{n})}{n} (n \in N^{*})$ 考查下列结论：① $f (1) = 1$ ；② $f (x)$ 为奇函数；③数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；④数列 ${b_{n}}$ 为等比数列.
以上结论正确的是．

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三、解答题

17. 在① $2 b + c = 2 a \cos C$ ，②三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} (a^{2} - b^{2} - c^{2})}{4}$ ，③ $c \sin A = 3 a \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $△ A B C$ 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = \sqrt{3} b$ ， $c = 1$ ，________？

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{4}$ ， $a_{m + t} = a_{m} \cdot a_{t} (m \in N_{+}, t \in N_{+})$ ， $b_{n} + 2 = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，（ $n \in N_{+}$ ）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知向量 $\vec{m} = (\cos x ， - 1)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x ， - \frac{1}{2})$ ，设函数 $f (x) = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot \vec{m}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，以及 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调性．

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为三角形 $A B C$ 的内角对应的三边长， $A$ 为锐角， $a = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，且 $f (A)$ 恰是函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值，求 $A$ 和 $b$ ．

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20. 某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为 $1 k m$ 的扇形 $E A F$ ，中心角 $∠ E A F = θ (\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2})$ ．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形 $A B C D$ ，其中点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ 和 $C D$ 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．

(1)、要使观赏区的年收入不低于5万元，求 $θ$ 的最大值；

(2)、试问：当 $θ$ 为多少时，年总收入最大？

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21. 对于定义域为R的函数 $y = f (x)$ ，部分 $x$ 与 $y$ 的对应关系如表：

x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

0

2

3

2

0

-1

0

2

(1)、求 $f {f [f (0)]}$ ：

(2)、数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 2$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，点 $(x_{n}, x_{n + 1})$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + x_{4 n}$

(3)、若 $y = f (x) = A \sin (ω x + φ) + b$ ，其中 $A > 0, 0 < ω < π, 0 < φ < π, 0 < b < 3$ ，求此函数的解析式，并求 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (3 n) (n \in N^{*})$ ．

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22. 已知 $a \neq 0$ ，函数 $f (x) = a {(x - 2)}^{2} + 2 \ln x$

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - 4 a + \frac{1}{4 a}$ ， $x \in [2 ， + \infty)$ ，且对于任意的 $x \geq 2$ ，有 $g (x) \geq x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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x	1.992	3	4	5.15	6.126
y	1.517	4.0418	7.5	12	18.01