辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 $(- 2, - 1, 0, 1, 2)$

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2. 若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $| \frac{6 + 3 i}{z} | =$ （）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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3. 在△ABC中，能使sin A> $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立的充分不必要条件是（）

A、A∈ $(0 ， \frac{π}{3})$ B、A∈ $(\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3})$ C、A∈ $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ D、A∈ $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$

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4. 边长为6的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是线段 $B C$ 上的点， $B D = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、48 B、30 C、24 D、12

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 21$ ，则 $a_{5} + a_{7} + a_{9} =$ （）

A、21 B、42 C、63 D、84

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6. 函数 $f (x) = \cos x \cdot \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) ， - 2 \leq x \leq 2$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x) = 1 - \frac{a}{2^{x} + 1}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且对任意实数 $x$ ，都有 $f (x^{2} - m x + 2) > \frac{1}{3}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < 2$ B、 $0 < m < 2$ C、 $- 4 < m < 4$ D、 $m > 2$

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8. 已知曲线 $C ： y = \frac{8 \sqrt{3}}{e^{x} + 2}$ ，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{2}{3} π]$ D、 $[\frac{2}{3} π ， π)$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在a，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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10. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0) ， k \in Z$ C、该函数的单调递增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4} ， 3 k π + \frac{π}{4}] ， k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，纵坐标不变，可得到该函数图象

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ .若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c})$ 的值可能为（）

A、 $3 - \sqrt{3}$ B、-2 C、0 D、 $- \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， 0 < x \leq e \\ f (2 e - x) ， e < x < 2 e \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - a x$ 有4个零点，则 $a$ 的可能的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = \vec{i} + \sqrt{3} \vec{j}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{i}$ ，其中 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 是互相垂直的单位向量，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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14. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 3$ ， $S_{3} = 6$ ，则数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前50项的和为：.

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15. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，又当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{\frac{1}{2}} 7)$ 的值等于.

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16. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将 $A$ 到 $D$ 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（ $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一水平面内），则 $A$ ， $D$ 间的距离为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.已知 $2 cos C (a cos B + b cos A) = c$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ，在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{8}$ .

(1)、求 ${b_{n}}$ 与 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 中去掉 ${a_{n}}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 ${c_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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19. 已知函数 $f (x) = \sin ω x$ ， $ω > 0$ .

(1)、 $f (x)$ 的周期是 $4 π$ ，求 $ω$ ，并求 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、已知 $ω = 1$ ， $g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} - x)$ ， $x \in [0$ ， $\frac{π}{4}]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 \cdot 2^{n + 1}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，证明数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在定义域上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $\ln (x_{1} x_{2}) > 4$ .

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