河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 4}$ B、 ${x ∣ 2 \leq x < 4}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 2}$ D、 ${x ∣ 2 < x < 4}$

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2. 复数 $z = \frac{3 i}{1 - 2 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{6}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{6}{5}$

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3. ${(x^{2} + \frac{3}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、90 B、80 C、70 D、60

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4. 若 $m n > 0$ ， $m + n = 3$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、2 B、6 C、9 D、3

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5. 2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在 $[30 ， 55]$ 内，按通行时间分为 $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45)$ ， $[45 ， 50)$ ， $[50 ， 55]$ 五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在 $[30 ， 35)$ 内的车辆有235台，则通行时间在 $[45 ， 50)$ 内的车辆台数是（）

A、450 B、325 C、470 D、500

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6. 在矩形ABCD中， $A B = 3 \sqrt{5}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，点E满足 $3 \vec{D E} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、21 B、 $- 18 \sqrt{6}$ C、-22 D、 $18 \sqrt{10}$

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7. 如图，在三棱锥D-ABC中， $A C ⊥ B D$ ，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知 $E F = \sqrt{2}$ ， $E H = \sqrt{5}$ ，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{7}$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x) > f (x)$ ， $f (2) = 1008$ ，则不等式 $e^{2} f (x + 1) - 1008 e^{x + 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d，且 $a_{3} = 5$ ， $a_{7} = 3$ ，则（）

A、 $d = \frac{1}{2}$ B、 $d = - \frac{1}{2}$ C、 $S_{9} = 18$ D、 $S_{9} = 36$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x - \sqrt{3} \sin^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象平移后能与函数 $y = \sin 2 x$ 的图象完全重合，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称 C、当 $x \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、当函数 $f (x)$ 取得最值时， $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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11. 已知 $y = f (x + 2)$ 为奇函数，且 $f (3 + x) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} + \log_{4} (x + 1) - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(- 2, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于 $(2, 0)$ 对称 C、 $f (2021) = 3 + \log_{4} 3$ D、 $f (2021) = \frac{3}{2}$

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12. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} + \vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} \geq 0$ 恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 2 x, x \geq 0 \\ \ln (- x), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ ．

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14. 若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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15. 若 $P$ 为直线 $x - y + 4 = 0$ 上一个动点，从点 $P$ 引圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的两条切线 $P M$ ， $P N$ （切点为 $M$ ， $N$ ），则 $| M N |$ 的最小值是.

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16. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中，E，F分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点P在线段EF上，则三棱锥 $P - D_{1} A C$ 的体积为．

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四、解答题

17. 在① $(\sin A + \sin B) (a - b) = (\sin C - \sin B) c$ ，② $a \sin B = b \cos (A - \frac{π}{6})$ ，③ $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b + c = 2 \sqrt{3}$ ， $a = \sqrt{6}$ ，．求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{S_{n} + 1}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $2 a_{n} = \frac{b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有40人．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.25	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	0.455	1.321	3.840	5.024	6.635

(1)、完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．

	准备买该品牌手机	不准备买该品牌手机	合计
男性
女性
合计

(2)、该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率．

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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， $∠ A D P = 90 °$ ， $P D = A D$ ，二面角 $P - A D - B$ 为60°，E为PD的中点．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面PAD．

(2)、求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $Ω : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，焦距为2．

(1)、求 $Ω$ 的标准方程．

(2)、过 $Ω$ 的右焦点F作相互垂直的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ （均不垂直于x轴）， $l_{1}$ 交 $Ω$ 于A，B两点， $l_{2}$ 交 $Ω$ 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x^{2} + (1 - 2 m) x + 1$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对任意 $x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求整数m的最小值．

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