天津市滨海新区汉沽2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1, - 1)$

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k - 1 = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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4. 方程 $x (x + 3) = x + 3$ 的解是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$

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5. 如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E ， ∠COB=40°，则∠BAD等于（）

A、80° B、50° C、40° D、20°

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6. 把抛物线y=3x²先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）

A、y=3（x+3）²﹣2 B、y=3（x+3）²+2 C、y=3（x﹣3）²﹣2 D、y=3（x﹣3）²+2

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7. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后得到 $△ A C P^{'}$ ，如果AP=2，那么 $P P^{'}$ 的长等于（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 如果a是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的一个根， $- a$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - m = 0$ 的一个根，那么a的值等于（）

A、1或2 B、0或3 C、-1或-2 D、0

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9. 抛物线 $y = x^{2} + (k - 1) x + 3$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 1$ B、 $k < 1$ C、 $k > 3$ D、 $k < 3$

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10. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有 $x$ 个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（）

A、 $x (x + 1)=90$ B、 $x (x - 1)=90 \times 2$ C、 $x (x - 1)=90$ D、 $2 x (x + 1)=90$

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11. 如图，MN是 $⊙ O$ 的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是 $\overset{⌢}{A N}$ 的中点，点 $B^{'}$ 是点B关于MN的对称点， $⊙ O$ 的半径为1，则 $A B^{'}$ 的长等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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12. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，且经过点 $(2 ， 0)$ ．下列说法：① $a b c > 0$ ；② $- 2 b + c = 0$ ；③ $m (a m + b) \leq \frac{1}{4} b$ （ $m$ 为任意实数）．其中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 若关于 $x$ 的方程 $(m - 2) x^{2} + m x - 3 = 0$ 是一元二次方程，则 $m$ 满足的条件是．

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14. 把方程 $(2 x + 3) (x - 6) = - 10$ 化为一元二次方程的一般形式，其结果是．

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15. 如图，在⊙ $O$ 中，弦 $C D$ 与直径 $A B$ 相交于点 $P$ ， $∠ A B C = 65 °$ ．则 $∠ C D B$ 的大小等于．

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16. 已知点（2，6），（4，6）是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的两点，则这条抛物线的对称轴是．

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17. 如图，平行四边形ABCD中， $A B = 4$ ，点 $D$ 的坐标是 $(0 ， 8)$ ，以点 $C$ 为顶点的抛物线经过 $x$ 轴上的点A ， B ，则此抛物线的解析式为．

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18. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 是 $A^{'} B^{'}$ 的中点，连接 $P M$ ．若 $B C = 4$ ， $∠ A = 30 °$ ，则在旋转一周的过程中线段 $P M$ 长度的最大值等于．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - x - 12 = 0$ ．

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20. 已知抛物线 $y = x^{2} - (4 - k) x - 3$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，此抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若抛物线的顶点为 $P$ ，求线段 $P C$ 的长．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A （ 2 ， 0 ）$ ，点 $B$ 在第一象限， $A B ⊥ O A$ ， $A B = O A$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $105 °$ 得到 $△ O A^{'} B^{'}$ ，连接 $B B^{'}$ ．

(1)、求 $∠ O B B^{'}$ 的度数；

(2)、求出点 $B^{'}$ 的坐标．

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22. 已知， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径， $A B = 10$ ， $C$ 为⊙ $O$ 上一点， $D$ 为 $\overset{⌢}{C B}$ 的中点，连接 $A D$ ．

(1)、如图①，若 $∠ C A B = 60 °$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、如图②，若 $A C = 6$ ， $O D$ 与 $C B$ 相交于点 $P$ ，求 $P B$ 、 $P D$ 的长．

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23. 某旅行社为吸引市民组团去某新开发的风景区旅游，推出了如下收费标准：如果旅游团人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果旅游团人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．设旅游团人数为 $x$ 人．

(1)、写出支付给旅行社费用 y （单位：元）关于 x 的函数关系式；

(2)、某单位组织员工组团去此风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少人去旅游？

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24. 在平面直角坐标系中，四边形 $A O B C$ 是矩形，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (10 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 6)$ ．以点 $A$ 为中心，顺时针旋转矩形 $A O B C$ ，得到矩形 $A D E F$ ，点 $O$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为点 $D$ ， $E$ ， $F$ ．

(1)、如图①，当点 $D$ 落在 $B C$ 边上时，求点 $D$ 的坐标；

(2)、如图②，当点 $D$ 落在线段 $B E$ 上时， $A D$ 与 $B C$ 交于点 $H$ ．
①求证 $△ A D B$ ≌ $△ B C A$ ；②求出 $△ A B H$ 面积．

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25. 已知二次函数 $y = - x^{2} + m x - m - 3$ （ $m$ 为常数）．

(1)、当 $m = 4$ 时，求二次函数的最值；

(2)、当抛物线的顶点恰好落在 $x$ 轴上时，求抛物线的顶点坐标；

(3)、当 $- 1 \leq x \leq 5$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最大值为2，求二次函数的解析式．

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