山西省吕梁市交城县2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} - 2 = x (x - 1)$ C、 $3 x^{2} - 2 x + y = 5$ D、 $2 x^{2} + 1 = 0$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 7$

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4. 如图，函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 和 $y = a x - a$ ( $a$ 是常数，且 $a \neq 0$ )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x²﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24 B、48 C、24或8 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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6. 如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BDC的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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7. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 4$ B、 $y = {(x - 4)}^{2} + 4$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 6$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} + 6$

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8. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为x米，则可列方程为（）（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）

A、 $100 \times 80 - 100 x - 80 x = 7644$ B、 $(100 - x) (80 - x) + x^{2} = 7644$ C、 $(100 - x) (80 - x) = 7644$ D、 $(100 - x) (80 - x) - x^{2} = 7644$

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 $y$ 轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）
① $a - b + c = 0$ ；②当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；③当 $y < 0$ 时， $- 1 < x < 3$ ；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 有两个相等的实数根

A、①③ B、②④ C、③④ D、①②④

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10. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC且∠BAC=45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）

A、BD=CD B、四边形DHEF为矩形 C、 $\overset{⌢}{A E} = 2 \overset{⌢}{D E}$ D、BC=2CE

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二、填空题

11. 电影《我和我的家乡》首映当日票房突破2.5亿元，两天后票房达到3.6亿元，那么平均每天票房的增长率为．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} - (2 a - 1) x + a + \frac{1}{2} = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 满足．

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13. 如图，已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象交于点A（-2，4），B（8，2），则能使 $y_{1} > y_{2}$ 成立的自变量 $x$ 的取值范围为．

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14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=度．

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15. 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 $\sqrt{3}$ ，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为．

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三、解答题

16. 解下列方程

(1)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} = x (3 x + 2) - 7$

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17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.

(1)、请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁

(2)、请画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂；

(3)、在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

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18. 如图，已知矩形ABCD中，AD=3，对角线AC，BD的长是一元二次方程 $x^{2} - 10 x + (2 m + 5) = 0$ 的两个实数根．

(1)、求m的值；

(2)、求矩形ABCD的面积．

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19. 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ $- \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ 表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m ，到地面OA的距离为 $\frac{17}{2}$ m ．

(1)、求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)、一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

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20. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)、求w与x之间的函数解析式；

(2)、这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)、如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆切AB于点D，交BC于点E，交AC于点F，连接CD．

(1)、若∠ADC=60°，求证：∠B=∠ACD；

(2)、在（1）的基础上，若AC=3，求弓形CF的面积．

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22. 实践与探究
已知：△ABC和△DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结论：

(1)、如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是，位置关系是．

(2)、在图1的基础上，将△DOE绕点O顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）得到图2，则问题（1）中的结论是否成立？请说明理由．

(3)、如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出 $α$ 的度数．

(4)、在（2）的基础上，△DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当△OFC为等腰三角形时，请直接写出 $α$ 的度数．

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23. 如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

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