山西省晋中市平遥二中2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|x²－16<0}，B＝{x|x²－4x＋3>0}，则A∪B等于（）

A、{x|x<1} B、{x|3<x<4} C、{x|1<x<3} D、R

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2. 命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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3. 已知 $p$ ： $0 \leq x \leq 2$ ， $q$ ： $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ ，则 $p$ 是 $\neg q$ 的（）

A、既不充分也不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、充分必要条件

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4. 下列各组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 相等的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{3}}{x}$ ， $g (x) = \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1}$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

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5. 设 $a = 4^{0.9}$ ， $b = 8^{0.48}$ ， $c = {0.5}^{- 1.5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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6. 已知幂函数 $f (x) = k x^{α}$ 的图像过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则 $k + α =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 下列函数中，值域是 $(0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2 x + 1 (x > 0)$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ D、 $y = \frac{2}{x}$

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8. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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9. 已知 $f (x + 1) = x^{2} + 5 x$ ，那么 $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} + 3 x + 4$ B、 $x^{2} + 3 x - 4$ C、 $x^{2} + 3 x$ D、 $x^{2} + 5 x$

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10. 已知函数f(x)＝4x²－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是（）

A、[160，＋∞) B、(－∞，40] C、(－∞，40]∪[160，＋∞) D、(－∞，20]∪[80，＋∞)

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11. 若 $f (x)$ 是偶函数，其定义域为 $(- \infty, + \infty)$ ，且在 $[0, + \infty)$ 上是减函数，则 $f (- 1)$ 与 $f (a^{2} + 2 a + 2)$ 的大小关系是（）

A、 $f (- 1) > f (a^{2} + 2 a + 2)$ B、 $f (- 1) < f (a^{2} + 2 a + 2)$ C、 $f (- 1) \geq f (a^{2} + 2 a + 2)$ D、 $f (- 1) \leq f (a^{2} + 2 a + 2)$

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12. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a - 5) x - 2, x \geq 2 \\ x^{2} - 2 (a + 1) x + 3 a, x < 2 \end{matrix}$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 4]$ B、 $(1, 5)$ C、 $[1, 5)$ D、 $[1, 4)$

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二、填空题

13. 已知函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} 2 x - 4, x > 0 \\ - x - 3, x < 0 \end{array}$ 则f(f(－4))＝.

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14. 已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{4}{a - 1}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 3) x + 3$ ， $(a^{2} - 2 \leq x \leq a)$ 为偶函数，则 $a + b =$ ．

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16. 若4^x＋2^x^＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.

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18. 设集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x \leq 3 m - 2}$ ，

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 计算下列各式

(1)、 ${(\sqrt{8})}^{- \frac{2}{3}} \times {(\sqrt[3]{10^{2}})}^{\frac{9}{2}} \div \sqrt{10^{5}}$

(2)、 $2 {(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})}^{6} + {(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + {(- 2020)}^{0}$

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x^{2} + 2 x + a} (- 2 \leq x \leq 2)$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $64$ ，求 $f (x)$ 的最小值．

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21. 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成若使每间虎笼面积为24m² ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上为减函数．

(3)、若对于任意 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的范围．

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