山西省怀仁市2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A、若m//α，n $\subset$ α，则m//n B、若m//α，m⊥n，则n⊥α C、若m⊥α，m⊥n，则n//α D、若m⊥α，n//α，则m⊥n

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3. 过点 $A (1, - 1), B (- 1, 1)$ ，且圆心在直线 $x + y - 2 = 0$ 上的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

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4. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{24} π R^{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8} π R^{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{25} π R^{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{8} π R^{3}$

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6. 直线 $l_{1} ： a x + 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} ： x + (a - 2) y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、-1 C、 $\frac{3}{2}$ D、3或-1

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7. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x - y \geq - 1 ， \\ 2 x - y \leq 2 ， \end{array}$ 目标函数 $z = - a x + y$ 仅在点 $(1 ， 0)$ 处取得最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， \infty)$

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8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{37} + 1$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）

A、6 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、6 D、4

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10. 在三棱锥 $A - S B C$ 中， $A B = \sqrt{10}$ ， $∠ A S C = ∠ B S C = \frac{π}{4}$ ， $A C = A S$ ， $B C = B S$ ，若该三棱锥的体积为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{5}$ π D、 $\frac{π}{3}$

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11. 设 $P$ 为直线2x＋y＋2＝0上的动点，过点P作圆C：x²＋y²－2x－2y－2＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值时直线AB的方程为（）

A、2x－y－1＝0 B、2x＋y－1＝0 C、2x－y＋1＝0 D、2x＋y＋1＝0

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12. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长都为2，且球 $O$ 为三棱锥 $A - B C D$ 的外接球，点 $M$ 是线段 $B D$ 上靠近 $D$ 的四等分点，过点 $M$ 作平面 $α$ 截球 $O$ 得到的截面面积为 $Ω$ ，则 $Ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ B、 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

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二、填空题

13. 已知 $- 1 < x + y < 4$ ， $2 < x - y < 3$ ，则 $3 x + 2 y$ 的取值范围是.

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14. 已知k∈R，过定点A的动直线 $k x + y - 1 = 0$ 和过定点B的动直线 $x - k y - k + 3 = 0$ 交于点P，则 $P A^{2} + P B^{2}$ 的值为.

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15. 点P(－3，1)在动直线mx＋ny＝m＋n上的投影为点M，若点N(3，3)那么|MN|的最小值为.

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16. 已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA₁ ， C₁D₁的中点，则下列结论中，正确结论的序号是(把所有正确结论序号都填上).

①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B₁D₁//平面EFG；③四面体ACB₁D₁的体积等于 $\frac{1}{2}$ a³；④BD₁⊥平面ACB₁；⑤二面角D₁－AC－D平面角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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三、解答题

17. 如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = P D = \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ，设 $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $B D$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：面 $P A B ⊥$ 平面 $P D C$ ．

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，且直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与圆 $C$ 和直线 $x - y - 5 = 0$ 都相切的最小圆的方程．

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19. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E是CC₁上的中点，且BC＝1，BB₁＝2.

(1)、证明：B₁E⊥平面ABE；

(2)、若三棱锥A－BEA₁的体积是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求异面直线AB和A₁C₁所成角的大小.

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20. 已知点 $P (0 ， 5)$ 及圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 24 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，且被圆 $C$ 截得的线段长为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $l$ 的方程；

(2)、求过 $P$ 点的圆 $C$ 弦的中点的轨迹方程．

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21. 在如图所示的圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，AB为圆 $O_{1}$ 的直径， $C ， D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的母线．

(1)、求证： $F O_{1} / /$ 平面ADE；

(2)、设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．

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22. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝3，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），光线QR经过 $△$ ABC的重心，若以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴正半轴，y轴正半轴，建立平面直角坐标系．

(1)、AP等于多少？

(2)、D（x，y）是 $△$ RPQ内（不含边界）任意一点，求x，y所满足的不等式组，并求出D（x，y）到直线2x+4y+1＝0距离的取值范围．

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