辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i^{3}}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、-i

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2. 设向量 ${\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}}$ 是空间的一个基底，则—定可以与向量 $\overset{⇀}{p} = \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{q} = \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 构成空间的另一个基底的向量是（）

A、 $\overset{⇀}{a}$ B、 $\overset{⇀}{b}$ C、 $\overset{⇀}{c}$ D、 $\overset{⇀}{a}$ 或 $\overset{⇀}{b}$

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3. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 7 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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4. 空间 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共面，但任意三点不共线，若 $P$ 为该平面外一点且 $\vec{P A} = \frac{5}{3} \vec{P B} - x \vec{P C} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，则实数 $x$ 的值为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 已知直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3 ， 1)$ ， $N (3 ， 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \leq \frac{3}{2}$ B、 $k \geq - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ D、 $k \leq - \frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{3}{2}$

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6. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ P A C = ∠ P A B = 45 °$ ，且 $∠ B A C = 60 °$ ，则直线 $P A$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (0, 4)$ ， $C (0, - 4)$ ，顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 上，则 $\frac{\sin (A + C)}{\sin A + \sin C} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值是（）

A、4 B、10 C、5 D、 $\sqrt{10}$

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二、多选题

9. 已知方程 $\frac{x^{2}}{3 - k} - \frac{y^{2}}{k - 5} = 1$ （ $k \in Z$ ）表示双曲线，则此时（）

A、双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$ B、双曲线的渐近线方程为 $x \pm y = 0$ C、双曲线的一个焦点坐标为（ $\sqrt{2}$ ，0） D、双曲线的焦点到渐近线的距离为1

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10. 设几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为a的正方体， $A_{1} C$ 与 $B_{1} D$ 相交于点O，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A_{1} B_{1}} \cdot \vec{A C} = a^{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A_{1} C} = \sqrt{2} a^{2}$ C、 $\vec{C D} \cdot \vec{A B_{1}} = - a^{2}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A_{1} O} = \frac{1}{2} a^{2}$

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11. 下列说法错误的是（）

A、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 B、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ C、过 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 两点的所有直线的方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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12. （多选）已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上到直线 $l : x + y = a$ 的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为（）

A、-5 B、-4 C、0 D、2

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三、填空题

13. 设复数 $z$ 满足 $| z - i | = 1$ ， $z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ 则 $x$ ， $y$ 满足的关系式为.

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14. 已知 $M$ ， $N$ 分别是四面体 $O A B C$ 的校 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $M N$ 上，且 $M P = 2 P N$ ，设向量 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ (用 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示)

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15. 已知点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．

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16. 若直线 $x + y - m = 0$ 与曲线 $y = 2 - \sqrt{- x (x + 2)}$ 没有公共点，则实数 $m$ 所的取值范围是.

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四、解答题

17. $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 8 m + 15) i$ ，i为虚数单位，m为实数．

(1)、当 $z$ 为纯虚数时，求m的值；

(2)、当复数 $z - 8 i$ 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．

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18. 已知平面内两点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 4)$ .

(1)、求过点 $P (2 ， - 3)$ 且与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 的方程；

(2)、一束光线从 $B$ 点射向（1）中的直线 $l$ ，若反射光线过点 $A$ ，求反射光线所在的直线方程.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面ABC， $∠ B A C = 90^{\circ} .$ 点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点， $P A = A C = 4$ ， $A B = 2$ ．

$($ Ⅰ $)$ 求证： $M N / /$ 平面BDE；

$($ Ⅱ $)$ 求直线MN到平面BDE的距离；

$($ Ⅲ $)$ 求二面角 $B - D E - P$ 的大小．

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20. 已知双曲线 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆 $C_{2}$ 与双曲线有相同的焦距， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的上、下两个焦点，已知 $P$ 为椭圆上一点，且满足 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、点 $A$ 为椭圆的上顶点，点 $B$ 是双曲线 $C_{1}$ 右支上任意一点，点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，求点 $M$ 的轨迹方程.

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21. 如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC， $A B ⊥ B C$ ， $B D ⊥ C D$ ．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，

(1)、证明：PB⊥平面PCD；

(2)、若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ 时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $⊙ C ： x^{2} + y^{2} + D x + E y - 12 = 0$ 关于直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 对称，且圆心在y轴上.

(1)、求 $⊙ C$ 的标准方程；

(2)、已知动点 $M$ 在直线 $y = 10$ 上，过点 $M$ 引 $⊙ C$ 的两条切线 $M A$ 、 $M B$ ，切点分别为 $A ， B$ .
①记四边形 $M A C B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值；

②证明直线 $A B$ 恒过定点.

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