辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知椭圆方程为 $4 x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，则椭圆的焦点坐标为（）

A、 $F_{1} (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ ， $F_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $F_{1} (- \frac{1}{2}, 0)$ ， $F_{2} (\frac{1}{2}, 0)$ C、 $F_{1} (0, - \frac{1}{2})$ ， $F_{2} (0, \frac{1}{2})$ D、 $F_{1} (0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $F_{2} (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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2. 已知平面 $α$ 上三点 $A (3, 2, 1)$ ， $B (- 1, 2, 0)$ ， $C (4, - 2, - 1)$ ，则平面 $α$ 的一个法向量为（）

A、 $(4, - 9, - 16)$ B、 $(4, 9, - 16)$ C、 $(- 16, 9, - 4)$ D、 $(16, 9, - 4)$

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3. 若直线 $x - y = 2$ 被圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ,则实数 $a$ 的值为（）

A、0或4 B、1或3 C、-2或6 D、-1或 $\sqrt{3}$

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4. 当 $a$ 为任意实数，直线 $(a - 1) x - y + a + 1 = 0$ 恒过定点 $C$ ，则以 $C$ 为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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5. 已知四面体 $A B C D$ 的每条棱长都等于2，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点，则 $\vec{G E} \cdot \vec{G F}$ 等于（）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $3 x + \sqrt{6} y + 3 = 0$ 垂直，以 $C$ 的右焦点 $F$ 为圆心的圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = 2$ 与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点 $F$ ， $P$ 是椭圆上任意一点，点 $A (0 ， 2 \sqrt{3})$ ，则 $△ A P F$ 的周长最大值为（）

A、 $9 + \sqrt{21}$ B、 $7 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{5}$ C、14 D、 $15 + \sqrt{3}$

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8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = 2$ ，当阳马 $B - A C C_{1} A_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ 时，堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的两条渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $y$ 轴上，且短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过焦点 $F_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线，交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{3} + x^{2} = 1$ B、椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $| P Q | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $Δ P F_{2} Q$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A_{1} D_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1}$ //平面 $C E F$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $C E F$ C、 $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{D A} + \vec{D D_{1}} - \vec{D C}$ D、点 $D$ 与点 $B_{1}$ 到平面 $C E F$ 的距离相等

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）

A、C的方程为（x+4）²+y²＝9 B、在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得 $\frac{| P D |}{| P E |} = \frac{1}{2}$ C、当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D、在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|

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三、填空题

13. 已知直二面角 $α - l - β$ 的棱 $l$ 上有 $A$ ， $B$ 两个点， $A C \subset α$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D \subset β$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $B D = 5$ ，则 $C D$ 的长是．

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14. 已知点 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 长轴的左、右端点，点 $P$ 在椭圆上，直线 $A P$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，设 $M$ 是椭圆长轴 $A B$ 上的一点， $M$ 到直线 $A P$ 的距离等于 $| M B |$ ，椭圆上的点到点 $M$ 的距离 $d$ 的最小值为．

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四、解答题

15. 若双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 有相同焦点，且经过点 $(\sqrt{15} ， 4)$ ，则该双曲线的标准方程为.

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16. 当 $k$ 为何值时，直线 $3 x - (k + 2) y + k + 5 = 0$ 与直线 $k x + (2 k - 3) y + 2 = 0$ ．

(1)、平行；

(2)、垂直．

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17. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

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18. 如图，设四棱锥 $E - A B C D$ 的底面为菱形，且 $∠ A B C = 60^{\circ} ， A B = E C = 2 ， A E = B E = \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 的体积.

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19. ①圆心 $C$ 在直线 $l : 2 x - 7 y + 8 = 0$ 上，且 $B (1, 5)$ 是圆上的点；②圆心 $C$ 在直线 $x - 2 y = 0$ 上，但不经过点 $(4, 2)$ ，并且直线 $4 x - 3 y = 0$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为4；③圆 $C$ 过直线 $l : 2 x + y + 4 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 16 = 0$ 的交点，在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 过点 $A (6, 0)$ ，且______

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A$ 的圆 $C$ 的切线方程．

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20. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $A C = A A_{1} = 2$ ， $A D = C D = \sqrt{5}$ ，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 的夹角的余弦值；

(3)、设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 的夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $E$ ，左焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $E F$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $F$ 且斜率存在的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，试判断 $\frac{| P F |}{| A B |}$ 是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

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五、双空题

22. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，点 $A (- 3, - 1, 4)$ ， $B (- 2, - 2, 2)$ ．则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ ；在直线 $A B$ 上，存在一点 $E$ ，使得 $\vec{O E} ⊥ \vec{b}$ ，则点 $E$ 的坐标为．

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