北京市第四中2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ，则下列向量与 $\vec{a}$ 垂直的是（）

A、 $(0, 0, 1)$ B、 $(- 2, 1, 0)$ C、 $(1, 1, 2)$ D、 $(4, - 1, 1)$

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2. 若直线 $l : 2 x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - 2 y + 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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3. 已知m，n表示两条不同直线， $α$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α ，$ 则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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4. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A D ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B D$ ，那么必有（）

A、平面 $A D C ⊥$ 平面 $B C D$ B、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面 $A D C$ D、平面 $A B D ⊥$ 平面 $A B C$

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5. 圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程是（）

A、 $4 x + 3 y + 6 = 0$ B、 $3 x + 4 y + 8 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 6 = 0$ D、 $4 x - 3 y + 6 = 0$

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6. 若 $A (- 2, 3)$ 、 $B (3, - 2)$ 、 $C (1, m)$ 三点共线，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-1 C、-2 D、0

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7. 下列命题正确的是（　　）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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8. 直线 $k x - y + 2 k + 1 = 0$ 与 $x + 2 y - 4 = 0$ 的交点在第四象限，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 6, - 2)$ B、 $(- \frac{1}{6}, 0)$ C、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$ D、 $(- \frac{1}{6}, - \frac{1}{2})$

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9. 如图所示，在斜三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则点C₁在平面ABC上的射影H必在（）

A、直线AB上 B、直线BC上 C、直线AC上 D、△ABC的内部

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二、多选题

10. 如图，在下列四个正方体中， $A$ ， $B$ 为正方体的两个顶点， $M$ ， $N$ ， $Q$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $M N Q$ 不平行的是（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题

11. 经过 $A (1, 0)$ ， $B (0, \sqrt{3})$ 两点的直线的倾斜角为.

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12. 圆心为 $C (- 4, 3)$ 且与直线 $2 x + y + 10 = 0$ 相切的圆的方程为.

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13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 1 = 0$ 截直线 $x - y - 6 = 0$ 所得弦长等于.

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14. 若空间向量 $\vec{a} = (5, 3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1, - 2)$ ， $\vec{c} = (0, 2, - 3)$ 共面，则 $m =$ .

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15. 棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，则点 $B$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为．

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16. 三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 两两垂直，且 $O A = O B = O C$ .给出下列四个命题：

① ${(\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})}^{2} = 3 {(\vec{O A})}^{2}$ ；

② $\vec{B C} \cdot (\vec{C A} - \vec{C O}) = 0$ ；

③ $(\vec{O A} + \vec{O B})$ 和 $\vec{C A}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ；

④三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\frac{1}{6} | (\vec{A B} \cdot \vec{A C}) \vec{B C} |$ .

其中所有正确命题的序号为.

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17. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 关于直线 $y = x$ 对称的圆方程为.

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (0 ， 3)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (2 ， 1)$ .若直线 $l$ 过点 $A$ ，且将 $△ A B C$ 分割成面积相等的两部分，则直线 $l$ 的方程是.

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19. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D = A B = 1$ ， $A D ⊥ A B$ ， $∠ B C D = 45 °$ ，将 $Δ A B C$ 沿对角线 $B D$ 折起，设折起后点 $A$ 的位置为 $A'$ ，且平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列四个命题中正确的是.

① $A' D ⊥ B C$ ；

②三棱锥 $A' - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

③ $C D ⊥$ 平面 $A' B D$

④平面 $A' B D ⊥$ 平面 $A^{'} D C$

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 为直线 $l$ ： $y = 2 x$ 上在第一象限内的点， $B (5 ， 0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $l$ 交于另一点 $D$ .若 $∠ D B A \geq 45 °$ ，则点 $A$ 的横坐标的取值范围为.

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四、解答题

21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C C_{1}$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 为 $B C_{1}$ 中点， $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 交于点 $O$ .

(1)、求证： $O D //$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A C_{1} B ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = A P$ ， $E$ 为棱 $P B$ 的中点.

(1)、求直线 $P D$ 与 $C E$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $E - A C - P$ 的余弦值.

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23. 已知直角三角形 $A B C$ 的顶点坐标 $A (- 4 ， 0)$ ，直角顶点 $B (- 2 ， - 2 \sqrt{2})$ ，顶点 $C$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求 $B C$ 边所在的直线方程；

(2)、设 $M$ 为直角三角形 $A B C$ 外接圆的圆心，求圆 $M$ 的方程；

(3)、已知 $A B$ 与平行的直线 $D E$ 交轴 $x$ 于 $D$ 点，交轴 $y$ 于点 $E (0 ， - 7 \sqrt{2})$ .若 $P$ 为圆 $M$ 上任意一点，求三角形 $P D E$ 面积的取值范围.

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24. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = 1$ ， $A D = D C = D P = 2$ ， $∠ P D C = 120 °$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、线段 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $P D F ⊥$ 平面 $P A C$ ？如果存在，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；如果不存在，说明理由；

(3)、若 $M$ 是棱 $P A$ 的中点， $N$ 为线段 $B C$ 上任意一点，求证： $M N$ 与 $P C$ 一定不平行.

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25. 设 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 3$ .对1，2，…， $n$ 的一个排列 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ ，如果当 $s < t$ 时，有 $i_{s} > i_{t}$ ，则称（ $i_{s}$ ， $i_{t}$ ）是排列 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 的一个逆序，排列 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序 $(2 ， 1)$ ， $(3 ， 1)$ ，则排列231的逆序数为2.记 $f_{n} (k)$ 为1，2，…， $n$ 的的所有排列中逆序数为 $k$ 的全部排列的个数.

(1)、求 $f_{3} (2)$ 的值；

(2)、判断 $f_{n} (2)$ 与 $f_{n + 1} (2)$ 的大小，并说明理由；

(3)、求 $f_{n} (2) (n \geq 4)$ 的表达式（用 $n$ 表示）.

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