浙江省宁波市镇海区蛟川书院2020届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：期中考试

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一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 在 $R t Δ A B C$ 中，∠C=90°，sinA= $\frac{4}{5}$ ，则tanA=（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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2. 圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，则该直线与圆O的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、以上都不对

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3. 已知线段 $a$ =1， $c$ =4，线段 $b$ 是线段 $a$ ， $c$ 的比例中项，则线段 $b$ 的长度是（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、16 D、 $\pm 16$

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4. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D两点，则△PCD的周长是（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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5. 下列说法中：⑴三点确定一个圆；⑵直径所对的圆周角是直角；⑶平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑷相等的圆心角所对的弧相等；⑸圆内接四边形的对角互补.其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则n等于（）

A、180 B、120 C、90 D、60

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7. 如图，在△ABC中， $A B \neq A C$ ， $A C = 3 A D$ ， $A B = 3 A E$ ，点F为边BC上一点，则下列条件不能保证△FDB与△ADE相似的是（）

A、∠A=∠BFD B、DF//AC C、 $\frac{B D}{D E} = \frac{D F}{A D}$ D、 $\frac{B D}{A E} = \frac{B F}{D E}$

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8. 如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，若BE+CG=10， $\frac{A G}{B E} = \frac{3}{2}$ ，则AF的长为（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、2

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10. 如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（）

A、 $72 π$ B、 $85 π$ C、 $100 π$ D、 $104 π$

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二、填空题（每小题5分，共30分）

11. 已知 $x = \sin α$ （ $α$ 为锐角），满足方程 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ，则 $\sin α$ =.

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12. 如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是.

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13. 如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 .

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14. 如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC，BC于点D，E.作DF//BC交AB于点F，若△ABC的面积为18，则四边形BEDF的面积为.

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15. 如图，在锐角△ABC中，AB= $\sqrt{10}$ ，BC=4，∠C=45°.若点D是AC边上的一点，将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BDF，BF交AC于E，DF//AB，则AC= ， DE=.

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16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是对角线AC上的动点，点F是边BC上的动点，点P是半径为1的⊙B上的动点，则PE+EF的最小值为.

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三、解答题(第17题6分，第18、19题各9分，第20—22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）

17. 计算： $2 \sin^{2} 45^{\circ} + \tan 60^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ} - \cos 60^{\circ}$

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18. 已知⊙O的半径为r=2，弦AB= $2 \sqrt{3}$ ，点B是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点， AB与CD交于点E.

(1)、求圆心O到弦AB的距离；

(2)、求∠AEC的度数.

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19. 如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上.

图1

(1)、△ABC与△DEF是否相似？请说明理由；

(2)、请在空白网格上画出△MNP～△ABC，并指出相似比.△MNP～△ABC ，相似比为（要求△MNP三个顶点都在格点上，并与△ABC、△DEF都不全等）

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20. 如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上.

(1)、求DM的长.

(2)、求旗杆AB的高度.（结果保留根号）

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21. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.

(1)、求圆弧所在的圆的半径r的长.

(2)、当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？

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22. 如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC= $\frac{4}{5}$ ，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限.点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）.请解答下列问题：
备用图

(1)、当CP⊥OA时，求t的值；

(2)、以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切，且切点不在菱形的边上时，求出t的值.

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23. 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”.

(1)、如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与四边形ABCE，其中是被AC分割成的“友爱四边形”的是；

(2)、如图2，四边形ABCD是“友爱四边形”，对角线AC是“友爱线”，同时也是∠BCD的角平分线，若△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求友爱四边形ABCD的周长；

(3)、如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，点D是∠ABC的平分线上一点，连接AD，CD.若四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，求BD的长.

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24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，CD⊥AB于D，P为AB延长线上一点，∠BCP=∠BCD.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、点E是⊙O上一点，∠ACE=2∠BCP，延长CD交BE于F，CF=10.
①求CP的长；

②若BE=9，求⊙O的半径.

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