四川省成都市金牛区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示的几何体是由 $6$ 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $x : y= 3 : 2$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $\frac{x + y}{y} = \frac{5}{2}$ B、 $\frac{x - y}{y} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{4}{3}$

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3. $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $b = \sqrt{15}$ ， $c = 4$ ，则 $\cos B$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 由二次函数 $y = 3 {(x - 4)}^{2} - 2$ 可知（）

A、其图象的开口向下 B、其图象的对称轴为直线 $x = 4$ C、其顶点坐标为 $(4 ， 2)$ D、当 $x < 4$ 时，y随x的增大而增大

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5. 书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6. 如图， $△ A B C$ 的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， $D E ∥ A C$ ， $A E ∥ B D$ 则四边形AODE一定是（）

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、不能确定

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8. 已知反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ ，下列结论；①图象必经过点 $(- 1 ， 1)$ ；②图象分布在第二，四象限；③在每一个象限内，y随x的增大而增大.其中正确的结论有（）个.

A、3 B、2 C、1 D、0

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9. 由于受猪瘟的影响，今年9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23 元，连续两次上涨 $a %$ 后，售价上升到每千克40 元，则下列方程中正确的是（）

A、 $23 {(1 + a %)}^{2} = 40$ B、 $23 {(1 - a %)}^{2} = 40$ C、 $23 {(1 + 2 a %)}^{2} = 40$ D、 $23 {(1 - 2 a %)}^{2} = 40$

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10. 如图，在 $⊙ O$ 中，点C为弧AB的中点，若 $∠ A D C = α$ （ $α$ 为锐角），则 $∠ A P B =$ （）

A、 $180^{°} - α$ B、 $180^{°} - 2 α$ C、 $75^{°} + α$ D、 $3 α$

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二、填空题

11. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是.（结果写成顶点式）

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12. 已知m ， n是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两根，则 $m + n + m n =$ .

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13. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O， $O C = 2 cm$ ， $∠ A B O = 30^{°}$ ，则菱形ABCD的面积是.

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14. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A D B$ 中， $∠ A B C = ∠ A D B = 90^{°}$ ， $∠ C = ∠ A B D$ ， $A C = 5$ ， $A B = 4$ ，AD的长为.

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15. 若 $x = 2$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 8 = 0 (a \neq 0)$ 的解，则代数式 $2020 + 2 a + b$ 的值是.

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16. 若关于x的方程 $(a - 2) x^{2} + (2 a - 3) x + a + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

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17. 如图，正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上，点F在AC边上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A、E ，且 $S_{△ O A E} = 3$ ，则 $k =$ .

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18. 在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m ，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上的数字为n ，点P的坐标为 $P (m ， n^{2} - 1)$ ，则点P落在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是.

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19. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，对称轴与x轴交于点D ，若点P为y轴上的一个动点，连接PD ，则 $\frac{\sqrt{10}}{10} P C + P D$ 的最小值为.

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三、解答题

20.

(1)、计算： $\tan 45^{°} - \sqrt{12} + 2019^{°} + 4 \cdot \sin 60^{°}$

(2)、解方程： $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

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21. 先化简，再求值：已知 $x = \sqrt{3}$ ， $y = 1$ ，求 $\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{5 x^{2} - 4 x y} \div \frac{x + y}{5 x - 4 y} + \frac{x^{2} - y}{x}$ 的值.

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22. 如图，在 $10 \times 10$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系．

(1)、若将 $Δ A B C$ 沿x轴对折得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则 $C_{1}$ 的坐标为．

(2)、以点B为位似中心，将 $Δ A B C$ 各边放大为原来的2倍，得到 $Δ A_{2} B C_{2}$ ，请在这个网格中画出 $Δ A_{2} B C_{2}$ ．

(3)、若小明蒙上眼睛在一定距离外，向 $10 \times 10$ 的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入 $Δ A_{2} B C_{2}$ 的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)

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23. 金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度.如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为 $42^{°}$ ，测得楼AB的底部B处的俯角为 $30^{°}$ .已知D处距地面高度为12 m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数.参考数据： $\tan 42^{°} \approx 0.90$ ， $\tan 48^{°} \approx 1.11$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 如图，已知点 $A (4 ， a)$ ， $B (10 ， - 4)$ 是一次函数 $y = k x + b$ 图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 图象的交点，且一次函数与x轴交于C点．

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、连接 $A O$ ，求 $Δ A O B$ 的面积；

(3)、在y轴上有一点P，使得 $S_{Δ A O P} = S_{Δ A O C}$ ，求出点P的坐标．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，连结OA、OB、OC ，延长BO与AC交于点D ，与 $⊙ O$ 交于点F ，延长BA到点G ，使得 $∠ B G F = ∠ G B C$ ，连接FG.

备用图

(1)、求证：FG是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4.
①当 $O D = 3$ ，求AD的长度；

②当 $△ O C D$ 是直角三角形时，求 $△ A B C$ 的面积.

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26. 成都市某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价是30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件.这种纪念品的销售单价为x（元）.

(1)、试确定日销售量y（台）与销售单价为x（元）之间的函数关系式；

(2)、若要求每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元，则当销售单价定为多少时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为多少？

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27. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B = 45^{°}$ ， $A C ⊥ A B$ ，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E ，将 $△ P C E$ 翻折得到 $△ P C F$ ，延长FP交AB于H ，连结AE ， PE交AC于G.

(1)、求证 $P H = P F$ ；

(2)、当 $B P = 3 P C$ 时，求AE的长；

(3)、当 $A P^{2} = A H \cdot A B$ 时，求AG的长.

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28. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A、B ，与y轴分别交于点C ，其中点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 2)$ ，且 $∠ A C B = 90^{°}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是线段AB上一动点，过P作 $P D ∥ A C$ 交BC于D ，当 $△ P C D$ 面积最大时，求点P的坐标；

(3)、点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当 $∠ A B C$ 恰好等于 $△ B C M$ 中的某个角时，求点M的坐标.

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