湖南省长沙市雅礼教育集团2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数： $- 2020, - | - 2020 | ， | - 2020 |, \frac{1}{2020}$ ，其中最大的实数是（）

A、-2020 B、 $- | - 2020 |$ C、 $| - 2020 |$ D、 $\frac{1}{2020}$

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2. 据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖.华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积 $0.00000065 m m^{2}$ .其中0.00000065用科学记数法表示为（）

A、 $6.5 \times 10^{- 8}$ B、 $6.5 \times 10^{- 7}$ C、 $6.5 \times 10^{- 6}$ D、 $6.5 \times 10^{7}$

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3. 下列运算正确的是（　　）

A、 ${(- a^{3})}^{2} = - a^{6}$ B、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{2}$ C、 $2 a^{2} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$ D、 $3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 1$

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4. 下列说法正确的是（）

A、对角线相等的四边形一定是矩形 B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 C、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6 D、“用长分别为 $5 c m$ 、12cm、 $6 c m$ 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件

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5. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（　　）

A、45° B、50° C、55° D、60°

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8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ，交BC于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是（）

A、20° B、30° C、45° D、60°

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9. 如图，已知 $Δ A O B$ 和 $Δ A_{1} O B_{1}$ 是以点O为位似中心的位似图形，且 $Δ A O B$ 和 $Δ A_{1} O B_{1}$ 的周长之比为 $1 ： 2$ ，点B的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则点 $B_{1}$ 的坐标为（）．

A、 $(2 ， - 4)$ B、 $(1 ， - 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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10. 如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA的值为（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{24}{7}$

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11. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（　　）个馒头

A、25 B、72 C、75 D、90

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12. 设抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a b \neq 0)$ 的顶点为M ，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 （）

A、 $y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = 2 (x - 0.5) (x + 1.5)$ C、 $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + 1$ D、 $y = (a^{2} + 1) x^{2} - 4 x + 2$ (a为任意常数)

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二、填空题

13. 分解因式 $2 m^{3} - 18 m =$ ．

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14. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为B，且 $S_{Δ A O B} = 3$ ，则 $k =$ .

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} 6 - 2 x \geq 0 ① \\ 2 x < x + 4 ② \end{array}$ 的解集是．

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16. 某圆锥的底面半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面积等于．

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17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S_菱形_ABCD=24，则OH的长为.

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18. 如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P(a，b) ，使△PAB为等边三角形，则2(a-b)= ．

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三、解答题

19. 计算： $| - \frac{1}{2} | + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + 3 \sin 30^{°} + {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{°} \times 2014$

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20. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 2 a + 1} \div (\frac{2 a}{a - 1} - 1)$ ,其中a=2.

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21. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，我校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的总人数为人，扇形统计图中A部分的圆心角是度；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

(4)、为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）

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22. 天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知 $A B = 500$ 米， $B C = 800$ 米，AB与水平线 $A A_{1}$ 的夹角是 $30^{°}$ ，BC与水平线 $B B_{1}$ 的夹角是 $60^{°}$ ．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 $C A_{1}$ 是多少米？(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ )

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23. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，今年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：今年7月20日猪肉价格比今年年初上涨了60%，某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．

(1)、问：今年年初猪肉的价格为每千克多少元？

(2)、某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中，点O在斜边 $A B$ 上，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作圆，分别与 $B C$ 、 $A B$ 相交于点D、E，连接 $A D$ ，已知 $∠ C A D = ∠ B$ .

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，求劣弧 $B D$ 与弦 $B D$ 所围阴影图形的面积；

(3)、若 $A C = 4$ ， $B D = 6$ ，求 $A E$ 的长.

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25. 有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.

(1)、如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；

(2)、如图2，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点.点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动.点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；

(3)、如图3，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：① $a < 0 ， a b \neq 0 ， c = 2$ ；②顶点D在以AB为直径的圆上. 点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上任意一点，且 $t = y_{0} - \sqrt{3} x_{0}$ .若 $t \leq m + \frac{1136}{505}$ 恒成立，求m的最小值.

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26. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{m}{x}$ （m为常数， $m > 1$ ， $x > 0$ ）的图象经过点 $P (m ， 1)$ 和 $Q (1 ， m)$ ，直线 $P Q$ 与x轴，y轴分别交于C，D两点.

(1)、求 $∠ O C D$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $O Q$ 、 $O P$ ，当 $∠ D O Q = ∠ O C D - ∠ P O C$ 时，求此时m的值：

(3)、如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以 $O A$ 、 $O B$ 为邻边作矩形 $O A M B$ .若点M恰好在函数 $y = \frac{m}{x}$ （m为常数， $m > 1$ ， $x > 0$ ）的图象上，且四边形 $B A P Q$ 为平行四边形，求此时 $O A$ 、 $O B$ 的长度.

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