辽宁省沈阳市大东区2020-2021学年高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < x^{2}}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、（0，1） B、 $(- 3, 0) \cup (1, 2)$ C、（－3，1） D、 $(- 2, 0) \cup (1, 3)$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $B C = \sqrt{11}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $- \frac{5 \sqrt{11}}{22}$

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3. 下列四个数中，最大的是（）

A、 $\log_{0.1} 6$ B、 $\log_{2} 9$ C、 $\log_{3} 12$ D、 $\log_{4} 15$

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4. 若 $0 < b < 1$ ，则“ $a > b^{3}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x^{2} \sin x - x \cos x$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间 $t$ （单位：时）的变化近似满足函数关系 $f (t) = A \sin (\frac{π}{3} t - \frac{11 π}{6}) + 5 (A > 0 ， 9 \leq t \leq 16)$ ，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）

A、1万 B、9千 C、8千 D、7千

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7. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量 $M$ 大约是 $2 \times 10^{30}$ 千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量 $m$ 大约是 $6 \times 10^{24}$ 千克.下列各数中与 $\frac{m}{M}$ 最接近的是（）
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 6 \approx 0.7782$ ）

A、 $10^{- 5.519}$ B、 $10^{- 5.521}$ C、 $10^{- 5.525}$ D、 $10^{- 5.523}$

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8. 已知 $\ln \frac{7}{2} > \frac{8}{7}$ ，函数 $f (x) = x^{2} - 7 \ln x$ ，设函数 $y = | f (x) | - \sin \frac{π}{7}$ 的零点个数为 $α$ ，函数 $y = f (f (x))$ 的零点个数为 $β$ ，则 $α + β =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、多选题

9. 若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则（）

A、 $| z | = \sqrt{17}$ B、z的实部与虚部之差为3 C、 $z = 4 + i$ D、z在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 若 $\tan 2 x - \tan (x + \frac{π}{4}) = 5$ ，则 $tan x$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11. 设命题 $p ： \exists a \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) = x^{3} - a x + 1$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数，则（）

A、p为真命题 B、 $\neg p$ 为 $\forall a \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) = x^{3} - a x + 1$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是减函数 C、p为假命题 D、 $\neg p$ 为 $\forall a \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) = x^{3} - a x + 1$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上不是增函数

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12. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) < x f^{'} (x) < 2 f (x) - x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）

A、 $f (1) > \frac{f (2)}{2}$ B、 $f (1) < \frac{f (2)}{2}$ C、 $f (1) < \frac{f (2)}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{f (2)}{4} + \frac{1}{2} < f (1)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 5 - 3 x, x \geq 0 \\ x^{4} + a, x < 0 \end{array}$ 且 $f (- 1) = f (1)$ ，则 $f (f (- 2))$ 的值为.

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14. 已知曲线 $y = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 关于 $(- 1 ， 0)$ 对称，则 $| ω |$ 的最小值为.

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15. 不等式 $3^{x + 1} < 4 x + 5$ 的解集为.

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16. 关于函数 $f (x) = \cos 2 x - 2 | \cos x |$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{3}{2}$ ；

② $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调递增；

③ $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

④方程 $f (x) = - \sqrt{2}$ 在 $(0, π)$ 内的各根之和为 $2 π$ .

其中所有真命题的序号是.

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17. 在① $2 \sin C \cos A = \sqrt{2}$ ，② $a \tan A = 2 \sqrt{2}$ ，③ $c \cos A = 2 \sqrt{6}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求 $△ A B C$ 的面积．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 4, C = \frac{π}{3}$ ，？

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1]$ 上的解析式；

(2)、若 $m < 1$ ，求 $f (x)$ 在 $[m, 1]$ 上的最小值 $g (m)$ .

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19. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中 $10$ 、 $9$ 、 $8$ 环的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，乙一次射击命中 $10$ 、 $9$ 环的概率分别为 $\frac{1}{6}$ 、 $\frac{5}{6}$ ．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．

(1)、在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；

(2)、记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(3)、进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．

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20. 如图，已知 $A C ⊥ B C$ ， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ，过点 $D$ 且垂直于 $D B$ 的平面 $α$ 与平面 $B C D$ 的交线为 $l$ ， $A C = B D = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A E = 2$ .

(1)、证明： $l ⊥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、设点 $P$ 是 $l$ 上任意一点，求平面 $P A E$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - \frac{4}{3} x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{a + 6 \ln x}{x} + 2$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函 $f (x) = (x - \frac{1}{2}) e^{x} + a {(x + \frac{1}{2})}^{2} .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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