辽宁省丹东市2020-2021学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $U = Z, A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 3, - 2, 0, 3}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 ${- 3$ ， $3}$ B、 ${- 2$ ，0， $2}$ C、 ${0$ ， $2}$ D、 ${- 1$ ，1， $2}$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $(x, y)$ ，若 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ，则（）

A、 $| z + 2 | = 2$ B、 $| z + 2 i | = 2$ C、 $| z + 2 | = 4$ D、 $| z + 2 i | = 4$

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3. 若曲线 $y = a x^{2}$ 在 $x = a$ 处的切线与直线 $2 x - y - 1 = 0$ 平行，则a=（）

A、-1 B、1 C、-1或1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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4. 激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry，LDV）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移 $f_{p} = \frac{2 v \sin φ}{λ} (1 /h)$ ，其中 $v$ 为被测物体的横向速度， $φ$ 为两束探测光线夹角的一半， $λ$ 为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁 $1 m$ 处，发出的激光波长为 $1560 nm (1 nm = 10^{- 9} m)$ ，测得这时刻的频移为 $8.72 \times 10^{9} (1 /h)$ ，则该时刻高铁的速度约为（）

A、 $320 km/h$ B、 $330 km/h$ C、 $340 km/h$ D、 $350 km/h$

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5. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边为 $x$ 轴的非负半轴，将角 $α$ 的终边绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后经过点 $(- 2, 1)$ ，则 $\tan (α + 45 °) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 函数 $f (x) = {(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (x)$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、20 B、-20 C、60 D、-60

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7. 设 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，已知当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = 2^{| x - 1 |} + 1$ ，则 $f (2022) + f (2023) =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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8. 我国著名数学家华罗庚于 $20$ 世纪七十年代倡导的“ $0.618$ 优选法”，在生产和科学实践中得到了非常广泛的应用， $0.618$ 是黄金分割比的近似值．把一条线段分割为长度为 $a$ 与 $b$ 的两部分，使得一部分长与全长之比恰好等于另一部分长与这部分长之比，即 $\frac{a}{a + b} = \frac{b}{a}$ ，这个比值叫做黄金分割比，已经证明，以满足黄金割比的 $a$ 为腰， $b$ 为底边的等腰三角形的底角为 $72^{\circ}$ ，据此可以计算出该等腰三角形的顶角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 2}{5}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \cos x + a \sin x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则（）

A、 $f$ $(x - \frac{2 π}{3})$ 是偶函数 B、 $f$ $(x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{6}$ ， $0)$ 对称 C、 $f$ $(x) = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$ D、 $f$ $(x) = 2 \cos (x + \frac{2 π}{3})$

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10. 设函数 $f (x) = x \ln^{2} x + x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f^{'} (\frac{1}{e}) = 0$ B、 $x = \frac{1}{e}$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、 $f (x)$ 存在零点 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ 单调递增

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11. 关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2^{x}} + a ， x ⩾ 1 \\ \log_{2} (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ ，正确的结论是（）

A、 $f$ $(x)$ 是单调递减函数 B、当 $a ⩾ 0$ 时，则 $f$ $(x) > 0$ C、当 $- \frac{1}{2} ⩽ a < 0$ 时，则 $f$ $(x)$ 只有一个零点 D、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，则 $f$ $(x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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12. 已知 $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是 $A C$ 上的点， $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，那么（）

A、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = - 1$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| \vec{D E} | = \frac{\sqrt{13}}{3}$

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三、填空题

13. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 2020年4月份，华为举行中国区春季新品发布会，华为消费者业务 $C E O$ 余承东正式发布 $P 40$ 系列 $5 G$ 手机．现调查得到该系列手机上市时间 $x$ 和市场占有率 $y$ （单位： $%)$ 的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的 $x = 1$ ，2，3，4，5， $\dots$ ，分别代表2020年的4月份，5月份，6月份，7月份，8月份， $\dots$ ．据此数据得出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.042 x + \hat{a}$ ，用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势，要使该系列手机的市场占有率超过0.5%，最早应在2021年的月份．

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15. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a \cos B \sin C + b \cos A \sin C = c^{2}$ ，则 $a$ 的最大值为．

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16. 一口袋中装有大小完全相同的红色、蓝色、黄色、绿色小球各一个，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中继续摸球，当四种颜色都被记到就停止摸球，则恰好摸球五次就停止摸球的概率为．

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四、解答题

17. 补充问题中横线上的条件，并解答问题．
问题：已知 $a b \neq 0$ ，a＝______，b＝________，写出函数 $f (x) = 2 \cos^{2} a x + \sin b x$ 的一个周期，并求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值．

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18. 统计数据显示，2019年某市市民共享单车使用者的年龄等级分布如图1所示，一周内该市市民共享单车使用频次分布扇形图如图2所示．

将共享单车使用者按年龄分为“年轻人” $(20$ 岁 $~ 39$ 岁）和“非年轻人” $(19$ 岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用共享单车次数为6次或6次以上的人称为“经常使用单车的人”，使用共享单车次数为5次或不足5次的人称为“不常使用单车的人”，已知“经常使用单车的人”中有 $\frac{3}{4}$ 是“年轻人”．

附：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.808

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ．

(1)、现对该市市民一周内“经常使用共享单车的人与年龄关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个一周内使用过共享单车的容量为200人的样本，请根据图1图2中的数据，完成下列

2 \times 2

列联表：

共享单车	年轻人	非年轻人	合计
经常使用的人数	$a$	$b$	a+b
不常使用的人数	$c$	$d$	$c + d$
合计	$a + c$	$b + d$	$n$

(2)、请根据（1）中的列联表，判断是否有

95 %

的把握认为一周内经常使用共享单车的人与年龄有关？

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19. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 是 $B C$ 上一点， $A D ⊥ A C$ 且 $A D = 1$ .

(1)、若 $A B = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ ；

(2)、求 $\frac{2}{A B} + \frac{1}{A C}$ .

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20. 因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题.

(1)、对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $n \in R$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M$ ；

(2)、请你运用上述对数运算性质，计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；

(3)、 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27}) = \frac{\lg 3}{\lg 2^{2}} (\frac{\lg 2^{3}}{\lg 3^{2}} + \frac{\lg 2^{4}}{\lg 3^{3}}) = \frac{\lg 3}{2 \lg 2} (\frac{3 \lg 2}{2 \lg 3} + \frac{4 \lg 2}{3 \lg 3}) = \frac{\lg 3}{2 \lg 2} \cdot \frac{17 \lg 2}{6 \lg 3} = \frac{17}{12}$ 对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3}, 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 是一个4位数，我们取 $\lg 2 = 0.3010$ ，请你运用上述对数运算性质，判断 $2^{50}$ 的位数是多少？

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21. 某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评 $+$ 仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：

教师评分

11

10

9

分数所占比例

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．

已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．

(1)、求该同学这个题目需要仲裁的概率；

(2)、求该同学这个题目得分 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ （精确到整数）．

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22. 设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x - \frac{1}{2} a x^{2}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 内的单调性；

(2)、当 $a > \frac{1}{3}$ 时，证明： $f (x)$ 有且仅有两个零点．

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教师评分	11	10	9
分数所占比例	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$