河南省郑州市2020-2021学年高三上学期理数二调考试试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $x \in R$ ，则“ $2^{x} > 4$ ”是“ $\lg (| x - 1 |) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2}^{2} + 2 a_{3} a_{7} + a_{6} a_{10} = 16$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9 ， S_{9} = 81$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、27 B、36 C、45 D、54

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1, k)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数k的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\pm \sqrt{2}$

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5. $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \cos B + b \cos A = - 4 c \cos C$ ， $a = 3$ ， $c = 4$ ，则 $b =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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6. 已知 $α$ 满足 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\frac{\tan^{2} α + 1}{2 \tan α} =$ （）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $- \frac{9}{8}$ C、3 D、-3

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{4 S_{n} - 1}{2 n - 1}$ ， $a_{1} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $n$ B、 $n + 1$ C、 $2 n - 1$ D、 $2 n + 1$

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8. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $C D = 2$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M D}$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B M} = - 3$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ 且 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称，则下列判断正确的是（）

A、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{2} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{2}$ D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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10. 已知点 $A (\frac{π}{24} ， 0)$ 在函数 $f (x) = \cos (2 ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $ω \in N^{*}$ ， $0 < φ < π$ ）的图象上，直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴．若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 内单调，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ， $g (x) = \log_{a} | x - 1 |$ （ $\sqrt{2} < a < 2$ ），则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 所有零点的和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 在 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $(3 - \cos A) \sin B = \sin A (1 + \cos B)$ ， $a + c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ，其中 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影．

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14. 若直线 $y = x + a$ 是曲线 $y = \ln (2 x)$ 的切线，则实数 $a =$ .

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15. 已知 $P$ 为边长为2的正方形 $A B C D$ 所在平面内一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P B} + \vec{P D})$ 的最小值为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 4 a_{2} + 9 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} a_{n} = 2 n (n + 1)$ .记不超过 $x$ 的最大整数为 $[x]$ ，如 $[0.9] = 0$ ， $[- 0.9] = - 1$ .设 $b_{n} = [\log_{2} a_{n}]$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} < 0$ ，则 $n$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + k n + k (k \in R)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n + 1} - 1}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知向量 $\vec{m} = (3 a - c ， b)$ ， $\vec{n} = (\cos B ， - \cos C)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos (ω x + \frac{π}{3}) - 2 \cos^{2} ω x + \frac{5}{2} (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 图像上相邻两个最低点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值以及 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{5}{13}$ 且 $α \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot b_{n + 1} - a_{n + 1} \cdot b_{n} - 2 a_{n} \cdot b_{n + 1} = 0$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 1$ ，设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{2} = 3$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = a - \frac{4}{3^{x} + 1}$ （a为实常数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $f (x)$ 为奇函数时，对任意的 $x \in [1 ， 5]$ ，不等式 $f (x) ⩾ \frac{u}{3^{x}}$ 恒成立，求实数u的最大值

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 \ln (1 + x) - 2 \sin x ， a > 0$ .

(1)、若 $a \geq 1$ ，证明：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求正实数a的取值范围.

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