河南省部分重点高中2020-2021学年高三上学期理数阶段性考试试卷（四)

试卷更新日期：2020-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + 2 x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[- 3, 2]$

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{9} = a_{3} + 8$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、60 B、120 C、160 D、240

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3. “ $| x - 3 | < 1$ ”是“ $\frac{3}{x - 1} > 1$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 3 ， \\ x - 2 y \geq 0 ， \\ x \leq 4 ， \end{array}$ 则 $\frac{y + 2}{x + 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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5. 设 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2 - Δ x)}{Δ x} = - 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 已知命题“ $\exists x_{0} > 2$ ， $a x_{0}^{2} - a x_{0} - 4 < 0$ ”是假命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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7. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上任意一点（不包含端点），若 $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值是（）

A、4 B、9 C、8 D、13

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8. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $A = {x | f (x) > 0}$ ， $B = {x | f^{'} (x) > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup (\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{3}) \cup (1 ， + \infty)$

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ，若 $a_{n} > 513$ ，则 $n$ 的最小值是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 已知 ${(α - \frac{π}{6})}^{3} + \cos (\frac{2 π}{3} - α) = 2 m$ ， ${(β - \frac{π}{6})}^{3} + \cos (\frac{2 π}{3} - β) = - 2 m$ ，其中 $m \in R$ ，则 $\cos (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， x > 0 ， \\ x^{2} + 4 x + 3 ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 4 f (x) + m + 1$ 恰有8个零点，则 $m$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x - 2 e^{2} x^{2} + m x$ ，若 $f (x) \geq 0$ 的解集中恰有一个整数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[2 e^{2} ， 4 e^{2} - \frac{\ln 2}{2})$ B、 $(2 e^{2} ， 4 e^{2} - \frac{\ln 2}{2}]$ C、 $[4 e^{2} - \frac{\ln 2}{2} ， 6 e^{2} - \frac{\ln 3}{3})$ D、 $(4 e^{2} - \frac{\ln 2}{2} ， 6 e^{2} - \frac{\ln 3}{3}]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 5)$ ， $\vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin (\frac{4 π}{3} + α) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a x^{2} - 2 x + 5)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $(\frac{1}{2}, 3)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其外接圆的半径为1.若 $a \cos A + b \cos B + c \cos C$ $= \frac{1}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $\sqrt{\log_{2} (x - 1)} < 1$ ， $q$ ： $x^{2} - 2 x < a^{2} - 1 (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，若 $p \land q$ 为真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b + a (\sin C - \cos C) = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A D ⊥ B C$ ， $B C = (2 \sqrt{2} + 2) A D$ ，求 $\sin 2 B$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 8 [\cos ω x \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \cos^{2} ω x] (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上的最值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $3 S_{n} = (n + m) a_{n}$ ， $m \in R$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 2}{a_{n} \cdot 2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x + a^{2}$ ．

(1)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $m > 1$ ，若对任意 $x \in [2, + \infty)$ ，不等式 $f (m (2^{x} - 2^{- x})) < f (4^{x} + 4^{- x} - 1)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} - \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 2$ 的两个不同实根，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{e^{3}}$ .

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