河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} (n - 2)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $a_{5}$ =（）

A、25 B、50 C、75 D、100

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2. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 5 x \geq 0}$ ， $N = {x | x^{2} - 4 \leq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 2 \leq x \leq 5}$ D、 ${x | x \geq 5}$

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3. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ 与 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ 的等比中项是（）

A、－1 B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若 $△ A B C$ 有两解，则a的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 5)$ B、 $(5 ， 10)$ C、 $(2, 2 \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{2}, 10)$

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5. 若a>b，c∈R且c≠0，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、a²>b² C、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ D、ac²>bc²

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6. 设方程x²－2ax－a＝0的两实根满足x₁<x₂<1，则实数a的取值范围为（）

A、(－ $\frac{1}{3}$ ，1) B、(－∞，－ $\frac{1}{3}$ )∪(0，1) C、(－∞，－1)∪(0， $\frac{1}{3}$ ) D、(－1， $\frac{1}{3}$ )

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7. 已知等比数列{a_n}中a₁₀₁₀＝2，若数列{b_n}满足b₁＝ $\frac{1}{4}$ ，且a_n＝ $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ ，则b₂₀₂₀＝（）

A、2²⁰¹⁷ B、2²⁰¹⁸ C、2²⁰¹⁹ D、2²⁰²⁰

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8. 在灯塔A的正东方向，相距40海里的B处，有一艘渔船遇险，在原地等待营救.海警船在灯塔A的南偏西 $30^{\circ}$ ，相距20海里的C处.现海警船要沿直线CB方向，尽快前往B处救援，则sin∠ACB等于（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$

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9. 已知 $1 < a + 2 b < 2$ ， $- 2 < 2 a - b < 1$ ，则 $8 a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 5, \frac{38}{5})$ B、 $(- 5, \frac{36}{5})$ C、 $(- 4, 7)$ D、 $(- 4, \frac{36}{5})$

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10. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）

A、32 B、33 C、34 D、35

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11. 已知函数f(x)＝－x²＋2bx，则“f(f(x))的最大值与f(x)的最大值相等”是“ $\frac{5}{b + 3}$ ≤1”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12. ①命题“若 $x \neq 1$ 或 $y \neq - 1$ ，则 $x + y \neq 0$ ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题个数有且只有2个；②已知直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 不经过第三象限，且过定点 $(2 ， 3)$ ，则 $\frac{a}{2} + \frac{2 b}{3}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ ；③若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y + 2 \geq 0 \\ x - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y - 5}{x - 4}$ 的取值范围为 $[\frac{6}{5} ， 10]$ ④若实数 $a ， b \in (0 ， 1)$ ，且满足 $(1 - a) b > \frac{1}{4}$ ，则必有 $a < b$ .
上述说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\vec{m}$ ＝(a－b，b－c)， $\vec{n}$ ＝(sinA＋sinB，sinC)，且 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ .则（）

A、A＝ $\frac{π}{6}$ B、B＝ $\frac{π}{3}$ C、C，A，B成等差数列 D、A，C，B成等差数列

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}^{2} = a_{3}$ ，且数列 ${S_{n} - 3 a_{1}}$ 也为等比数列，则 $a_{n}$ 的表达式为（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ B、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ C、 $a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n}$ D、 $a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n + 1}$

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二、填空题

15. 不等式 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x - 6 < 0$ 的解集为.

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16. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA＝ $\frac{3}{4}$ ，sinC＝ $\frac{12}{13}$ ，a＝3，则b＝.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 1 ， a_{n}_{＋ 1} = 2 a_{n} + 2$ ，则 $S_{5}$ 的值为.

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18. 锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosC＋2cosAcosB＝ $\frac{4}{5}$ ，sinA>sinB，则tanB＋ $\frac{4}{\tan B}$ 的取值范围是.

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三、解答题

19. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，满足2bcosA＝ccosA＋acosC.

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{5}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₁＝1且S₁ ， S₃ ， S₁₀－1成等比数列.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n＝ $\frac{6}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，求使得T_n> $\frac{15}{8}$ 成立的n的最小值.

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21. 已知函数f(x)＝mx²－mx－2x＋2.

(1)、若f(x)≥0在m∈[－1，1]时恒成立，求x的取值范围；

(2)、解关于x的不等式f(x)≤0.

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22. 如图，在某小区内有一形状为正三角形 $△ A B C$ 的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在 $△ A B C$ 内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于 $△ A B C$ 内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.

(1)、试用α表示该步行道MN的长度；

(2)、试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值.

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23. 已知各项都大于1的数列{a_n}的前n项和为S_n ， 4S_n－4n＋1＝a_n²：数列{b_n}的前n项和为T_n ， b_n＋T_n＝1.

(1)、分别求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；

(2)、设数列{c_n}满足c_n＝a_nb_n ，若对任意的n∈N^*.不等式5(λn＋3b_n)－2b_nS_n>λn(c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n)恒成立，试求实数λ的取值范围.

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24. 设命题p：已知 $a_{n} = n^{2} - a n - 3$ ，数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列；命题 $q$ ：函数 $g (x) = x^{2} - 2 x - 1, x \in [- 1, a]$ ，值域为[－2，2]，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.

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25. 已知数列{a_n}中，已知a₁＝1，a₂＝a，a_n_＋1＝k(a_n＋a_n_＋2)对任意n∈N^*都成立，数列{a_n}的前n项和为S_n.

(1)、若{a_n}是等差数列，求k的值；

(2)、若a＝1，k＝－ $\frac{1}{2}$ ，求S_n.

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