辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合A={x|1< $\sqrt{- x}$ ≤2}，B={x|x>-2}，则A∪B=（）

A、(-2，-1) B、(-2，-1] C、(-4，+∞) D、[-4，+∞)

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2. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得 $A \subseteq C$ ， $B \subseteq ∁_{U} C$ ”是“ $A \cap B = \emptyset$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 1$ 一定存在零点的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$

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4. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ <0，则下列结论中不正确的是（）

A、a²<b² B、ab<b² C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ >2 D、|a|+|b|>|a+b|

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5. 已知f(x)= ${\begin{array}{l} 2 x - 1, x \geq 2 \\ - x^{2} + 3 x, x < 2 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) + f (4)$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 已如函数f(x+1)为偶函数，当x₂>x₁>1时，[f(x₂)-f(x₁)]·(x₂-x₁)<0恒成立，设a=f(- $\frac{1}{2}$ )，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（）

A、c>a>b B、c>b>a C、a>c>b D、b>a>c

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7. 若 $a = \frac{1}{3} - t, b = \frac{2}{3} + t (- \frac{2}{3} < t < \frac{1}{3})$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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8. 已知函数f(x)＝mx²＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）

A、(0，1] B、(0，1) C、(－∞，1) D、(－∞，1]

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二、多选题

9. 具有性质：f( $\frac{1}{x}$ )=-f(x)的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（）

A、f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x}}$ B、f(x)=x- $\frac{1}{x}$ C、f(x)=x+ $\frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x, 0 < x < 1 \\ 0, x = 1 \\ - \frac{1}{x}, x > 1 \end{array}$

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10. 下列命题中，真命题的是（）

A、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = 1$ B、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分条件 C、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ 都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” D、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的充分不必要条件

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11. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab， $\frac{a}{b}$ ∈P(b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是（）

A、数域必含有0，1两个数 B、整数集是数域 C、若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D、数域中有无限多个元素

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12. 已知函数 $f (x) = 1 - | 1 - x |$ 若关于x的方程 $f^{2} (x) + a f (x) = 0$ 有n个不同的实根，则n的值可能为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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三、填空题

13. 设函数f（x）= $\frac{(x + 1) (x + a)}{x}$ 为奇函数，则a= ．

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14. 若m，n满足m²+5m-3=0，n²+5n-3=0，且m≠n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为.

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15. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + a + 3 \geq 0$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 给出以下四个命题：
①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B，则x=1，y=0；

②若函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数f(2x+1)的定义域为(-1，0)；

③函数f(x)= $\frac{1}{x}$ 的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞)；

④若f(x+y)=f(x)f(y)，且f（1）=1，则 $\frac{f (2)}{f (1)} + \frac{f (4)}{f (3)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{f (2018)}{f (2017)} + \frac{f (2020)}{f (2019)} = 2020$ .

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 \leq x < 8}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 6) < 0}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ;

(2)、若 $C = {x | x \leq a}$ ，且 $C \subseteq C_{U} A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数．

(1)、求 $f (- 1)$ ，并证明函数 $y = f (x)$ 是偶函数；

(2)、若 $f (4) = 2$ ，解不等式 $f (x - 5) - f (\frac{3}{x}) \leq 1$ ．

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19. 已知 $a x^{2} + 2 a x + 1 \geq 0$ 恒成立.

(1)、求a的取值范围;

(2)、解关于x的不等式 $x^{2} - x - a^{2} + a < 0$ .

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20. 已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 2, f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、设 $h (x) = f (x) - 2 t x$ ，当 $x \in [1, + \infty)$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值

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21. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售岀8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

(1)、假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

(2)、商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

(3)、每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

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22. 已知函数f(x)=x+ $\frac{1}{x + 1}$ ，g(x)=ax+5-2a(a>0).

(1)、判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；

(2)、若对任意m∈[0，1]，总存在m₀∈[0，1]，使得g(m₀)=f(m)成立，求实数a的取值范围.

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