河北省邯郸市大名一中等六校2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集为R，集合 $A = {1, 2, 3}, B = {x | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、{1} C、 ${1, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 对命题“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 4 \leq 0$ ”的否定，正确的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 4 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 > 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$

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3. $2 x^{2} - 5 x - 3 < 0$ 的一个必要不充分条件是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < 3$ B、 $- 1 < x < 6$ C、 $- \frac{1}{2} < x < 0$ D、 $- 3 < x < \frac{1}{2}$

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4. 已知 $a > \frac{3}{2}$ ，则 $2 a + \frac{1}{2 a - 3}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x - 1}$ （）

A、在 $(- 1 ， + \infty)$ 内单调递增 B、在 $(- 1 ， + \infty)$ 内单调递减 C、在 $(1 ， + \infty)$ 内单调递增 D、在 $(1 ， + \infty)$ 内单调递减

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b}{x}$ 是定义在（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函数.若f（2）＝3，则a+b的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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7. 已知幂函数 $f (x) = x^{a} (a \in R)$ 的图象过点 $(16, 2)$ ，若 $f (m) = 3$ ,则实数 $m$ 的值为（）

A、9 B、12 C、27 D、81

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8. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 2}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 2 < x < \frac{1}{3}}$ B、{ $x | x < - 2$ 或 $x > \frac{1}{3}$ } C、 ${x | - 3 < x < \frac{1}{2}}$ D、{ $x | x < - 3$ 或 $x > \frac{1}{2}$ }

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二、多选题

9. 使不等式 $1 + \frac{1}{x} > 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 0$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 1$ D、 $- 1 < x < 0$

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10. 设 $a, b \in R$ ，且 $a \neq b$ ， $a + b = 2$ ，则必有（）

A、 $a b > 1$ B、 $a b < 1$ C、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} < 1$ D、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} > 1$

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11. 下列关于函数 $f (x) = \frac{1 - | x |}{1 + | x |}$ 的说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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12. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (- 3 ， 0)$ ，且对称轴为 $x = - 1$ ，则以下选项中正确的为（）

A、 $b^{2} > 4 a c$ B、 $2 a - b = 1$ C、 $a - b + c = 0$ D、 $5 a < b$

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x)$ 的图像经过点（4，2），则 $f (32)$ 的值为

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14. 若函数 $f (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x + 1$ ，则 $f (3)$ =.

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15. 命题p：（x﹣m）²＞3（x﹣m）是命题q：x²+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x - 1) = \frac{x}{x + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 0}$ ，集合 $B = {x | 2 - x > x^{2}}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 a \leq x \leq a + 2}$ ，且 $(A \cap B) \subseteq C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知命题：“ $\forall x \in {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，都有不等式 $x^{2} - x - m < 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $B$ ；

(2)、设不等式 $(x - 3 a) (x - a - 2) < 0$ 的解集为 $A$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $a \in R$ ，若关于x的不等式 $(1 - a) x^{2} - 4 x + 6 > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若关于x的不等式 $a x^{2} + b x + 3 \geq 0$ 在 $[0, 2]$ 上恒成立，求实数b的取值范围.

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20. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足90万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；当产量不小于90万箱时， $p (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

(1)、求口罩销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ；

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、是否存在非负实数 $a, b (a < b)$ ，使得当 $x \in [a, b]$ 时，函 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{3}{2} b, - \frac{3}{2} a]$ ？若存在，求出所有 $a, b$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + a}{x}$ ， $x \in [1, + \infty)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，判断并证明函数的单调性并求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围.

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