福建省福州四校联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $A = {0, 1}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${2, 3}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2, 3}$

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2. 已知命题 $p ：$ 某班所有的男生都爱踢足球，则命题 $\neg p$ 为 $($ $)$

A、某班至多有一个男生爱踢足球 B、某班至少有一个男生不爱踢足球 C、某班所有的男生都不爱踢足球 D、某班所有的女生都爱踢足球

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3. 已知集合 $M = {x | y = x^{2} + 1}$ ， $N = {(x, y) | y = - x^{2} + 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、{1} B、 $(0, 1)$ C、 $\emptyset$ D、 ${(0, 1)}$

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4. $x^{2} > 4$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x^{2} > 3$ B、 $| x | > 2$ C、 $x \geq 2$ D、 $x > 3$

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5. 下列选项中正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ 的值域是（）

A、R B、 $(- \infty, - 2) \cup (- 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6) \cup (6, + \infty)$

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7. $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，是定义在R上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{3})$ B、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [2, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，且 $f (x + 2)$ 是偶函数，不等式 $f (m + 1) \geq f (2 x - 1)$ 对任意的 $x \in [- 1, 0]$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 6]$ B、 $[- 4, 3]$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [6, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [3, + \infty)$

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二、多选题

9. 下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 下列四组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (a) = 3 a^{2} - 2 a + 3$ ， $g (t) = 3 t^{2} - 2 t + 3$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = 0$ ， $g (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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11. 下列四个不等式中，解集为 $\emptyset$ 的是（）

A、 $- x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 4 < 0$ C、 $x^{2} + 6 x + 9 \leq 0$ D、 $- x^{2} + 4 x - (a + \frac{4}{a}) > 0 (a > 0)$

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12. 下列说法中正确的是（）

A、“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”成立的充分条件 B、不等式 $\frac{2 x - 1}{3 x + 1} > 1$ 的解集是 $(- 2, - \frac{1}{3})$ C、“ $x \in A$ ”是“ $x \in A \cap B$ ”的必要不充分条件 D、“ $\sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ ”的最小值为2

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域是；

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14. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 5 m - 5) x^{2 m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为减函数，则实数 $m =$ ．

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15. 满足 ${1, 3} \subseteq A \subseteq {0, 1, 3, 5, 7}$ 条件的集合 $A$ 的个数有个.

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16. 已知函数 $M (x) = \max {x^{2} - x ， x + 1}$ （该函数表示{}内两个函数的较大者），则 $M (x)$ 的最小值是；

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、根据图象写出 $f (x)$ 的单调区间和值域.

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18. 已知集合 $A = {x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 5}$ ， $B = {x | 2 a \leq x \leq a + 2}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cap B$ 和 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、根据单调性的定义讨论 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 6]$ 的最大值和最小值及对应的x的值.

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 5 x + c < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < - \frac{1}{4}}$ .

(1)、求 $a$ ， $c$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a c + b) x + b c \geq 0$ .

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21. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足90万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；当产量不小于90万箱时， $p (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

(1)、求口罩销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + 4 (a \in R)$ ．

(1)、若对任意的 $x \in R, f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意的 $x \in (- \infty, 1], f (x) + a + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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