福建省福州市八县（市)一中2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $U = {1, 2, 4, 6, 8}$ ， $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {2, 4, 6}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap B = {2}$ D、 $A \cap (∁_{U} B) = {1}$

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2. 存在量词命题 $p :$ “ $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} + 1, x \geq 2 \\ f (x + 3), x < 2 \end{array}$ ，则 $f (1) - f (9) =$ （）

A、 $- 1$ B、-2 C、6 D、7

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4. 下列函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的一组是（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = | x |$ D、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{array}$

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5. 某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了 $a km$ ，休息了一段时间，又沿原路返回 $b km (a > b)$ ，再前进 $c km$ ，则此人离起点的距离 $S$ 与时间 $t$ 的关系示意图是（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 1$ 在区间 $(- \infty, - 2]$ 上为减函数，则下列选项正确的是（）

A、 $f (1) < 6$ B、 $f (1) \leq 6$ C、 $f (- 1) > - 2$ D、 $f (- 1) \leq - 2$

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7. 若不等式 $(a + x) (2 + x) < 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $- 2 < x < 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \leq - 1$ B、 $a < - 1$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a < - 2$

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8. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $a, b, c$ ，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 10, c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + m}{b + m}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$

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10. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，$ 且 $A \cap B = {0} ， (∁_{U} A) \cap B = {2 ， 4} ，$ $(∁_{U} B) \cap A = {1 ， 3}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $A = {1 ， 3}$ B、 $B = {0 ， 2 ， 4}$ C、 $A \cup B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 $∁_{U} (A \cup B) = {5}$

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11. 若 $m > 0, n > 0$ ，且 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m n$ 有最大值 $4$ B、 $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ C、 $\forall m > 0, n > 0$ 都有 $\sqrt{\frac{1}{m}} + \sqrt{\frac{1}{n}} \leq \sqrt{2}$ D、 $\exists m > 0, n > 0$ ，使得 $m + n = 2$

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12. 某同学在研究函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ $(x \in R)$ 时，分别给出几个结论，其中错误的是（）

A、 $\forall x \in R,$ 都有 $f (- x) + f (x) =0$ B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、若 $x_{1} \cdot x_{2} =1$ ，则 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ D、 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上单调递减

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{2}{x} - x^{2}$ ，则 $f (- 1) =$ .

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14. 已知正数 $x, y$ 满足 $x + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $y + \frac{4}{x}$ 的最小值为

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15. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0]$ 时，总有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $f (2 m - 1) > f (1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是

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16. 设偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，且满足 $f (1) = 1$ ，对于任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty) ， x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2}^{2020} f (x_{1}) - x_{1}^{2020} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $\frac{f (x)}{x^{2020}} \geq 1$ 的解集为

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x \leq 3 a + 1}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x}$ 的定义域为集合 $M$ ，函数 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $x \in M$ 时的值域；

(2)、若对于任意 $x \in R$ 都有 $g (x) \geq m x - 2$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 对于函数 $f (x)$ ，若满足 $f (x) \geq k x$ ( $k$ 为常数)成立的 $x$ 取值范围所构成的集合 $A$ 称为函数 $f (x)$ 的“ $k$ 倍集合”，已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a - 1) x + 2$ $(a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的“ $2$ 倍集合”；

(2)、若 $a > 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 x$ 的解集.

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20. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - m) x^{m + 1}$ 为偶函数， $g (x) = f (x) + \frac{k}{x}$ $(x \neq 0, k \in R)$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、若 $k = 2$ ，试判断 $g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并给出证明.

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21. 2020年是我国全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某地区有400户农民从事茶叶种植，据了解，平均每户的年收入为8万元.为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农户改行从事生猪养殖.据统计，若动员 $x (x > 0, x \in N^{*})$ 户农民从事生猪养殖，则剩下的继续从事茶叶种植的农民平均每户的年收入有望提高 $x %$ ，而从事生猪养殖的农民平均每户的年收入为 $8 (a - \frac{x}{25})$ $(a > 0)$ 万元.

(1)、在动员 $x$ 户农民从事生猪养殖后，要使剩下的 $(400 - x)$ 户从事茶叶种植的所有农民总年收入不低于原先400户从事茶叶种植的所有农民年总收入，求 $x$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，要使从事生猪养殖的这 $x$ 户农民年总收入始终不高于 $(400 - x)$ 户从事茶叶种植的所有农民总年收入，求 $a$ 的最大值.(参考数据： $\frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115 .5$ ， $\frac{400}{115} \approx 3 .48$ ， $\frac{400}{116} \approx 3 .45$ )

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22. 已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = - 1$ ， $f (x + 1) = f (x) + 2 x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对 $\forall x \in (0, 1]$ ，都 $\exists m \in [0, 4]$ ，使得 $f (\frac{1}{x}) + \frac{2 - m}{x} \geq λ^{2} + λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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