福建省福州市四校联盟2021届高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 1} ， B = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则如图所示阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $- 3 + i$ B、 $- 3 - i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

查看试题解析
3. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）

A、108cm³ B、100cm³ C、92cm³ D、84cm³

查看试题解析
4. 已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是（）

A、f (x)＝ $\frac{\ln | x ∣}{x}$ B、f (x)＝ $\frac{e^{x}}{x}$ C、f (x)＝ $\frac{1}{x^{2}}$ －1 D、f (x)＝x－ $\frac{1}{x}$

查看试题解析
5. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

查看试题解析
6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0, n = 1, 2, \dots$ ，且 $a_{5} \cdot a_{2 n - 5} = 2^{2 n} (n \geq 3)$ ，则当 $n \geq 1$ 时， $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{3} + \dots + \log_{2} a_{2 n - 1} =$ （）

A、 $n (2 n - 1)$ B、 ${(n + 1)}^{2}$ C、 $n^{2}$ D、 ${(n - 1)}^{2}$

查看试题解析
7. 若 $A B$ 是以O为圆心，半径为1的圆的直径，C为圆外一点，且 $O C = 2$ .则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、3 B、-3 C、0 D、不确定，随着直径 $A B$ 的变化而变化

查看试题解析
8. $f （ x ）$ 的定义域为 $R$ ， $f （ 0 ） = 2$ ，对任意 $x \in R ， f （ x ） + f^{'} （ x ） > 1$ ，则不等式 $e^{x} \cdot f (x) > e^{x} + 1$ 解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、“ $M > N$ ”是“ $l g M > l g N$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 1 < 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 1 < 0$ ” D、设函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，则“ $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极值”的充要条件

查看试题解析
10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{10} = S_{20}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{16} < 0$ C、 $S_{n} \leq S_{15}$ D、当且仅当 $S_{n} < 0$ 时 $n \geq 32$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ （ $0 < φ < π$ ），若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中不正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (φ) = - 2$ D、 $x = \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

查看试题解析
12. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为a，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF $= \frac{\sqrt{2}}{2}$ a，以下结论正确的有（）

A、AC⊥BE B、点A到△BEF的距离为定值 C、三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁体积的 $\frac{1}{12}$ D、异面直线AE，BF所成的角为定值

查看试题解析

三、填空题

13. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x + y \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{m} = (1, 2), \vec{n} = (a, 1- b) (a > 0, b > 0)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

查看试题解析
15. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2020) =$ .

查看试题解析
16. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $a_{n}^{2} + 1 = 2 a_{n} S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，则 $S_{64} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 给出以下三个条件：① $4 a_{3}$ ， $3 a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列；②对于 $\forall n \in N^{*}$ ，点 $(n, S_{n})$ 均在函数 $y = 2^{x} - a$ 的图象上，其中 $a$ 为常数；③ $S_{3} = 7$ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设 ${a_{n}}$ 是一个公比为 $q (q > 0, q \neq 1)$ 的等比数列，且它的首项 $a_{1} = 1$ ，．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，证明数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
18. 已知 $f (x) = 2 \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x - \sin^{2} x$ ，

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设△ABC的内角A满足 $f (A) = 2$ ，而 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = \sqrt{3}$ ，求边BC的最小值．

查看试题解析
19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，过 $E$ 点作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .求证：

(1)、 $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、 $P B ⊥$ 平面 $E F D$ .

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a ， x \in [- 1 ， 1]$ 恰有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围

查看试题解析
21. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2$ .

(1)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A C$ ；

(2)、若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = ∠ A C D + \frac{π}{3}$ ，求 $tan ∠ A C D$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + ln x (a \in R)$ 有最大值 $- \frac{1}{2}$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x + f (x)$ ，且 $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数．
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $x_{1} < x_{2}$ ， $g (x_{1}) + g (x_{2}) + 3 = 0$ 时， $g^{'} (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析