福建省福州市八县（市)一中2021届高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 5 x - 6 \leq 0} ， B = {x | 2 < 2^{x} < 128}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 6}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 6}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知 $p$ ：“函数 $y = x^{2} + 2 a x + 1$ 在 $(1, + \infty)$ 上是增函数”， $q$ ：“ $a > - 2$ ”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是减函数，如果 $f (3) = - 1$ ，则不等式 $f (x - 1) + 1 \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 4]$ D、 $[1 ， 4]$

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4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）

A、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 平行 B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 相交 C、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 异面垂直 D、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 异面且所成的角为60°

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5. 记 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2} = 1 ， S_{4} = 5$ ，则 $S_{7} =$ （）.

A、 $S_{7} = 10$ B、 $S_{7} = \frac{2}{3}$ C、 $S_{7} = \frac{62}{3}$ D、 $S_{7} = \frac{127}{3}$

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6. 已知 $m > 0 ， n > 0 ， m + 4 n = 2$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、36 B、16 C、8 D、4

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ( $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{3 π}{16}$ 个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数 $y = f (x)$ 的图像（）

A、关于点 $(- \frac{π}{16} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{16} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称

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8. 已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ，则不等式 $f (2020 + x) - {(x + 2020)}^{2} f (- 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2021)$ B、 $(- 2021 ， - 2020)$ C、 $(- 2021 ， 0)$ D、 $(- 2020 ， 0)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = i$ $($ $i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1 + 2 i}{5}$ C、复数 $z$ 的实部为-1 D、复数 $z$ 对应复平面上的点在第二象限

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10. 已知 $A (2, 4), B (4, 1), C (9, 5), D (7, 8)$ ，如下四个结论正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{A C}$ ； B、四边形 $A B C D$ 为平行四边形； C、 $\overset{⇀}{A C}$ 与 $\overset{⇀}{B D}$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{29}}{145}$ ； D、 $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = \sqrt{85}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{10}, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $b = \sqrt{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为6

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1}$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点.点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，直线 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ C、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，才有 $A_{1} P$ 与 $O B_{1}$ 相交于一点，记为 $Q$ ，且 $\frac{P Q}{Q A_{1}} = \frac{1}{3}$ D、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，直线 $A_{1} P$ 与 $A B$ 所成角都不可能是30°

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三、填空题

13. 若 $\cos (\frac{π}{4} - θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\sin 2 θ =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 3 n - 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B$ 垂直平面 $A B C$ ， $P A = P B = A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

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16. 函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，若 $f^{2} (x) - 2 m f (x) + 4 m = 0$ 有 $8$ 个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 S_{n} + 3 = 3 a_{n}$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{\log_{3} a_{n} \cdot \log_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $\sqrt{3} cos C (a cos B + b cos A) = c sin C$ ，② $a sin \frac{A + B}{2} = c sin A$ ，③ $(2 a - b) \sin A + (2 b - a) \sin B = 2 c \sin C$ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a, b, c$ ， $c = \sqrt{3}$ ，而且___________.

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的范围.

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19. 已知如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ 且 $A B = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起使 $A D = \sqrt{2}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D E$ .

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P$ 为 $A C$ 的中点，求二面角 $P - B D - A$ 的余弦值.

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20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为 $2 km$ ，C､D两点在半圆弧上满足 $A D = B C$ ，设 $∠ C O B = θ$ ，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由 $A B ， B C ， C D$ 和 $D A$ 组成.

(1)、若 $θ = \frac{π}{6}$ ，求观光通道l的长度；

(2)、用 $θ$ 表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{a x}$ 的极值为 $- \frac{1}{e}$ .

(1)、求 $a$ 的值并求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $g (x) = e^{m x} - \frac{l n x}{m} (m > 0)$ ，存在 $x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $g (x) \leq 0$ 成立，求 $m$ 得最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (a x + 1) - \frac{x - 2}{x + 2} (a > 0 ， x \geq 0)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 1$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 时恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、证明： $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2 n + 1} < \frac{1}{2} ln (n + 1) (n \in N^{*})$ .

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