广东省惠州市惠城区四校联考2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2020-12-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1. 下列等式中，一定是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} = 1$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ C、 $x^{2} + y = 0$ D、 $a x^{2} + c = 0$ （ $a$ ， $c$ 为常数）

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2. 点 $A$ 到 $⊙ O$ 的圆心距离为 $2$ ， $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，点 $A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点在圆外 B、点在圆上 C、点在圆内 D、无法确定

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3. 如图， $⊙ O$ 的直径为10，圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离 $O M$ 的长为3，则弦 $A B$ 的长是（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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4. 如图，将 $R t △ A B C$ （其中 $∠ B = 34^{\circ}$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ ），绕 $A$ 点按顺时针方向旋转到 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置，使得点 $C$ ， $A$ ， $B_{1}$ 在同一直线上，则旋转角的度数为（）

A、 $56^{\circ}$ B、 $68^{\circ}$ C、 $124^{\circ}$ D、 $180^{\circ}$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ D = 3 ∠ B$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $45^{\circ}$ B、 $36^{\circ}$ C、 $30^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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6. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 上的三点，如果 $∠ A C B = 45^{\circ}$ ，那么 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、π B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点．若 $∠ C D B = 36^{\circ}$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $36^{\circ}$ B、 $44^{\circ}$ C、 $54^{\circ}$ D、 $72^{\circ}$

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8. 平面直角坐标系中，将抛物线 $y = - x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ D、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 2$

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9. 在同一坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 与一次函数 $y = a x - a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $B (- 1 ， 3)$ ，与 $x$ 轴的交点 $A$ 在点 $(- 3 ， 0)$ 和 $(- 2 ， 0)$ 之间，下列结论正确的有（）
① $b^{2} - 4 a c = 0$ ；② $a + b + c > 0$ ；③ $2 a - b = 0$ ；④ $c - a = 3$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本题共计7小题，每题4分，共计28分）

11. 点 $P (1, - 3)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 如果抛物线 $y = (a + 1) x^{2} - 4$ 有最低点，那么 $a$ 的取值范围是．

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13. 圆锥的母线长为 $5 c m$ ，底面圆半径为 $3 c m$ ，则圆锥的侧面积为 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心， $∠ B O C = 118^{\circ}$ ， $∠ A =$ $^{\circ}$ ．

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15. 如图，抛物线 $y$ ＝ $a x^{2} + b x$ 与直线 $y$ ＝ $m x + n$ 相交于点 $A (- 3 ， - 6)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x$ ＝ $m x + n$ 的解为．

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16. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 是以点 $C (0 ， 3)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆上的动点， $Q$ 是线段 $P A$ 的中点，连结 $O Q$ ．则线段 $O Q$ 的最大值是．

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17. 如图，已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = B C$ ，以 $A B$ 为直径的圆交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $C D = 4 \sqrt{5}$ ， $C E = 8$ ，则 $⊙ O$ 的半径是.

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三、解答题（本题共计8小题，共计62分）

18. 解方程： $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ．

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19. 如图在边长为 $1$ 的小正方形组成的网格中， $△ O A B$ 的顶点都在格点上．

①请作出 $△ O A B$ 关于直线 $C D$ 对称的 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ ；
②请将 $△ O A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，画出旋转后的 $△ B O_{2} A_{2}$ ．

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20. 抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 6$ .

(1)、请把二次函数写成 $y = a {(x + h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、 $x$ 取何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小？

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21. 如图， $∠ B A C$ 的平分线交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $D E = D B$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径．

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22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．

(1)、设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

(2)、若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (t - 1) x + t - 2 = 0$ .

(1)、求证：对于任意实数 $t$ ，方程都有实数根；

(2)、当 $t$ 为何值时，方程的一个根为 $x = 3$ ？

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $D E$ 垂直半径 $O A$ ， $C$ 为垂足， $D E$ ＝ $6$ ，连接 $D B$ ， $∠ B$ ＝ $30^{\circ}$ ，过点 $E$ 作 $E M / / B D$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $M$ ．

(1)、求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、求证： $E M$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若弦 $D F$ 与直径 $A B$ 相交于点 $P$ ，当 $∠ A P D$ ＝ $45^{\circ}$ 时，求图中阴影部分的面积．

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O C = O B$ .

(1)、求点 $C$ 的坐标和此抛物线的解析式；

(2)、若点 $E$ 为第二象限抛物线上一动点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $B C$ ，求 $△ B C E$ 面积的最大值；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上，若线段 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好也落在此抛物线上，求点 $P$ 的坐标．

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广东省惠州市惠城区四校联考2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷

一、选择题 （本题共计10小题，每题3分，共计30分）

二、填空题 （本题共计7小题，每题4分 ，共计28分 ）

三、解答题 （本题共计8小题，共计62分）

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

二、填空题（本题共计7小题，每题4分，共计28分）

三、解答题（本题共计8小题，共计62分）