河南省周口市太康县2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{9}}$

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2. 一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 $A B$ 与垂直中心线 $A C$ 的夹角为 $∠ A$ ，过点B向垂直中心线 $A C$ 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 $A B$ 、 $B D$ 、 $A D$ 的长度，利用测量所得的数据计算 $∠ A$ 的三角函数值，进而可求 $∠ A$ 的大小．下列关系式正确的是（）

A、 $\sin A = \frac{B D}{A B}$ B、 $\cos A = \frac{A B}{A D}$ C、 $\tan A = \frac{A D}{B D}$ D、 $\sin A = \frac{A D}{A B}$

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4. 如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）

A、(0，4) B、(2，﹣2) C、(3，﹣2) D、(﹣1，4)

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5. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）

A、x²＝（x﹣1）²+10² B、（x+1）²＝x²+10² C、x²＝（x﹣1）²+1² D、（x+1）²＝x²+1²

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6. 已知α，β是方程x²＋2020x＋1=0的两个根，则（1＋2022α＋α²）（αβ＋β²）的值为（）

A、－4040 B、4044 C、－2022 D、2020

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 10 ， A D = 15 ， ∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E ，$ 交 $D C$ 的延长线于点 $F ， B G ⊥ A E$ 于点 $G$ ，若 $B G = 8$ ，则 $△ C E F$ 的周长为（）

A、 $16$ B、 $17$ C、 $24$ D、 $25$

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8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 如图， $Δ A B C$ 的三个顶点均在格点上，则 $\tan A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 使 $\frac{\sqrt{x - 1}}{3}$ 在实数范围内有意义的x的取值范围是.

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12. 如果 $(m + 2) x^{| m |} + x - 2 = 0$ 是关于x的一元二次方程，那么m的值为.

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13. 若 $\frac{y}{x} = \frac{3}{7}$ ，则 $\frac{x - y}{x} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $| sin A - \frac{1}{2} | + {(cos B - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为 $A^{'}$ ．若点 $A^{'}$ 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为．

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三、解答题

16. 解下列方程：

(1)、 $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ （配方法）

(2)、 $(x + 3) (x - 1) = 5$ （公式法）

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17. 计算：

(1)、 $2 \sin 30 ° + 3 \cos 60 ° - 4 \tan 45 °$

(2)、 $\frac{\cos^{2} 30 °}{1 + \sin 30 °} + \tan^{2} 60 °$

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18. 已知关于x的一元二次方程x²﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x₁ ， x₂.

(1)、求k的取值范围；

(2)、若x₁³x₂+x₁x₂³＝24，求k的值.

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19. 图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

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20. 2020年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染， $N 95$ 口罩成为了大众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2020年2月份一盒 $N 95$ 口罩价格比2020年1月份上涨了 $30 %$ ，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒 $N 95$ 口罩花了52元．

(1)、问：2020年1月份一盒 $N 95$ 口罩的价格为多少元？

(2)、某超市将进货价为每盒39元的 $N 95$ 口罩，按2020年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查表明： $N 95$ 口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售 $N 95$ 口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒 $N 95$ 口罩的售价应该下降多少元？

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F.

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长.

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22. 如图，在ΔABC和ΔA'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点， $\frac{A D}{A B} = \frac{A^{'} D^{'}}{A^{'} B^{'}}$ .

(1)、当 $\frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}}$ 时，求证ΔABC∽ΔA'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

(2)、当 $\frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}}$ 时，判断ΔABC与ΔA'B'C′是否相似，并说明理由.

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23. 在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.

(1)、如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；

(2)、如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；

(3)、如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值.

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