吉林省通榆县一中2021届高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-17 类型：期中考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} (x - 1)}$ ， $B = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $(1, 3]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[- 2, 1]$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $i \cdot z = 2 + i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数的模是（）

A、5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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3. “ $x \leq 8$ ”是“ $\log_{2} x \leq 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）

A、 $\frac{82}{5}$ 两 B、 $\frac{84}{5}$ 两 C、 $\frac{86}{5}$ 两 D、 $\frac{88}{5}$ 两

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5. 若函数 $f (x) = \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{5 π}{8}$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{5} = 4$ ，公比 $q = \sqrt{2}$ ，则 $a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6} =$ （）

A、32 B、16 C、-16 D、-32

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{n^{2} + n}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{25}{9}$ B、 $\frac{14}{5}$ C、 $\frac{31}{11}$ D、 $\frac{17}{6}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 1$ ， $a (2 \sin B - \sqrt{3} \cos C) = \sqrt{3} \cos A$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $A G = \frac{\sqrt{13}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ 或 $\sqrt{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{| x |} - {(\frac{1}{4})}^{- | x |}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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10. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A C$ ， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $D F$ 上的一点，则直线 $B P$ 与直线 $D G$ 的位置关系可能是（）
①相交 ②垂直 ③异面 ④平行

A、①② B、①②③ C、①③④ D、②③④

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $N$ 是线段 $C D$ 上的一动点， $B N$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $\vec{C N} = λ \vec{C D}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则 $μ (λ + 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 - a_{n}$ ，数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $S_{n}^{2} - λ {(- 1)}^{n} T_{n} > 0$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(3, \frac{9}{5})$ D、 $(- 1, \frac{9}{5})$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是 $120 °$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 18$ ， $S_{16} = 42$ ，则 $S_{32} =$ .

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15. 若 $\cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos α \cos β =$ .

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16. 已知半径为4的球面上有两点 $A$ ， $B$ ，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，球心为 $O$ ，若球面上的动点 $C$ 满足： $O A$ 与 $△ A B C$ 所在截面所成角为 $60 °$ ，则四面体 $O A B C$ 的体积的最大值为.

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三、解答题：共70分.

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{8} = 15$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的余弦值.

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19. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b}{c} = \frac{\cos \frac{B}{2}}{\sin C}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $P C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A P = A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点， $A C$ 交 $B E$ 于点 $O$ .

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}} (b_{n} \neq 0, n \in N^{*})$ ，满足 $a_{1} = 2 b_{1}$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n + 1} \cdot b_{n}}{a_{n} + 2 b_{n}}$ .

(1)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，证明：数列 ${c_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ ，证明： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} < \frac{3}{2}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln (1 + x) - b x (a ， b \in R)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y + 1 - 2 \ln 2 = 0$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值﹔

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \frac{t}{2} x^{2} (t \geq 1)$ ，试讨论函数 $g (x)$ 的零点个数.

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