浙江省2021年数学学考模拟卷

试卷更新日期：2020-12-17 类型：水平会考

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、{1} C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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3. 计算： $625^{\frac{1}{4}} =$ （）.

A、5 B、25 C、±5 D、±25

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4. 直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 的倾斜角为（）

A、90° B、30° C、0° D、180°

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1}}{2 x^{2} - x - 1}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x > - \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$ D、 ${x | x > - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$

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6. 已知空间向量 $\vec{m} = (3, 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 1, λ, - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = - 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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8. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 1 ⩾ 0 \\ y - 2 ⩽ 0 \\ 2 x - y - 2 ⩽ 0 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的最大值是（）

A、-5 B、1 C、2 D、4

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9. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）

A、12 $\sqrt{3}$ B、36 C、27 $\sqrt{3}$ D、6

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10. 不等式 $| x - 1 | + | x + 2 | \geq 5$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3] \cup [2 ， + \infty)$

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11. 已知两条直线m，n和平面 $α$ ，那么下列命题中的真命题为（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m \subset α$ B、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ C、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ D、若 $m // n$ ， $m // α$ ，则 $n // α$ 或 $n \subset α$

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12. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > a_{2} > 0$ ， $a_{7} + a_{8} = 0$ ，则当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13. 设a>0且a≠1，则“b>a”是“log_ab>1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2^{x} - 4^{x}}}$ ，则函数 $\frac{f (x - 1)}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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15. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{x^{3} (e^{x} - 1)}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16. 若实数a，b满足 $a b > 0$ ，则 $a^{2} + b^{2} + \frac{1}{2 a b} + 1$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17. 在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（　　）

A、双曲线 B、椭圆 C、圆 D、抛物线

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18. 在底面为锐角三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D是棱 $B C$ 的中点，记直线 $B_{1} D$
与直线 $A C$ 所成角为 $θ_{1}$ ，直线 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角为 $θ_{2}$ ，二面角 $C_{1} - A_{1} B_{1} - D$ 的平面角为 $θ_{3}$ ，则（）

A、 $θ_{2} < θ_{1} ， θ_{2} < θ_{3}$ B、 $θ_{2} > θ_{1} ， θ_{2} < θ_{3}$ C、 $θ_{2} < θ_{1} ， θ_{2} > θ_{3}$ D、 $θ_{2} > θ_{1} ， θ_{2} > θ_{3}$

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二、填空题

19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \geq 1, \\ 1 - 2 x, x < 1, \end{array}$ 则 $f (- 1) =$ ， $f (f (- 1)) =$ ．

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20. 直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n + 1}}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2019} =$ ；

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22. 已知等腰直角三角形 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ， $M_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 顺次为线段 $B C$ 的九等分点，则 $\vec{A M_{i}} \cdot \vec{A M_{9 - i}}$ 的最大值为．

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三、解答题

23. 已知：在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 3$ ， $\sin A + a \sin B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、当 $a = \sqrt{7}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $△ A B C$ 为锐角三角形时，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围．

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24. 如图，直线l与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，与x轴交于点Q，且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ l$ 于点 $D (m ， n)$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，求m的值；

(2)、当 $m \in [\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 时，求 $△ O D Q$ 与 $△ O A B$ 的面积之积 $S_{△ O D Q} \cdot S_{△ O A B}$ 的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， x > 0 ， \\ 0 ， \begin{matrix} \end{matrix} x = 0 ， \\ x^{2} + m x ， \begin{matrix} \end{matrix} x < 0 \end{array}$ 是奇函数.

(1)、求实数m的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， a - 2]$ 上是单调增函数，求实数a的取值范围；

(3)、求不等式 $\frac{f (x) - f (- x)}{x} < 0$ 的解集.

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