四川省遂宁市安居区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, M = {1, 2, 3}, N = {2, 3, 4, 5}$ ，则 $∁_{U} (M \cap N) =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、 ${1, 4, 5}$ C、 ${2, 3, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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2. 下列各对函数中，图像完全相同的是（）

A、 $y = x$ 与 $y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = x^{0}$ 与 $y = \frac{x}{x}$ C、 $y = | x |$ 与 $y = | \sqrt{x} |^{2}$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

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3. 下列四个函数中，在 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = 3 - x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = - | x |$

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4. 若函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = 2^{x}$ 的反函数，则 $f (2) =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、0

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5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）

A、80 B、70 C、60 D、50

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6. 设 $f (x)$ 的定义域为R，图象关于y轴对称，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数，则 $f (- 2)$ ， $f (- π)$ ， $f (3)$ 的大小顺序是（）

A、 $f (- π) < f (- 2) < f (3)$ B、 $f (- 2) < f (3) < f (- π)$ C、 $f (- π) < f (3) < f (- 2)$ D、 $f (3) < f (- 2) < f (- π)$

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7. 设 $a = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = {0.5}^{0.6}$ ， $c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2}} (x \geq 1) \\ \log_{2} x (0 < x < 1) \end{array}$ ，则 $f [f (2)] =$ （）．

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、-2

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9. 函数 $y = \frac{2}{x - 1}$ 的定义域为 $(- \infty, 1) \cup [2, 5)$ ，则其值域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup [2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 2]$

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10. 已知 $f (\frac{1}{x}) = \frac{x}{1 - x}$ ，则f（x）的解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{1 - x}{x} (x \neq 0$ ，且x≠1） B、 $f (x) = \frac{1}{1 - x} (x \neq 0$ ，且x≠1） C、 $f (x) = \frac{1}{x - 1} (x \neq 0$ ，且x≠1） D、 $f (x) = \frac{x}{x - 1} (x \neq 0$ ，且x≠1）

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11. 设集合 $M = {x | x - m < 0}, N = {y | y = {(x - 1)}^{2} - 1, x \in R}$ ，若 $M \cap N = \emptyset$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m < - 1$ D、 $m \leq - 1$

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 3 x ， x \geq 0 \\ - x^{2} + 3 x ， x < 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x - 2) < f (4 - x^{2})$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 6)$ B、 $(- 6 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{x - 3}$ 的定义域为；

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14. 已知函数 $y = a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标是.

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15. 函数 $y = \log_{2} (4 x - x^{2})$ 的增区间是；

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16. 已知函数 $f (x) = m x^{3} + n x + 4$ （其中 $m$ 、 $n$ 是常数），且 $f (2020) = 3$ ，则 $f (- 2020) =$ ．

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三、解答题

17. 计算下列各式的值

(1)、 ${(- 0.1)}^{0} + \sqrt[3]{2} \times 2^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} \begin{matrix} \end{matrix}$

(2)、 $\log_{3} \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4$

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18. 设已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 3 < 2 x - 1 < 5}, B = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 0}$ ，求 $A \cap B$ ， $∁_{U} (A \cup B)$ ， $(∁_{U} A) \cap B$

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19. 设 $f (x) = x - \frac{4}{x}$

(1)、讨论 $f (x)$ 的奇偶性;

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性并用定义证明.

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 2 ， f (x + 2) - f (x) = 4 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[3 ， 6]$ 时的最值．

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21. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}, B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in R$ 时，若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + x + 1$ $(a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， - 2]$ 的最大值 $M (a)$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有两个实根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $\frac{x_{1}}{x_{2}} \in [\frac{1}{10} ， 10]$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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