江西省2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-12-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组长度的线段（单位： $c m$ ）中，成比例线段的是（）

A、1，2，3，4 B、1，2，3，5 C、2，3，4，5 D、2，3，4，6

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2. 方程 $x^{2} = 3 x$ 的解为（）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$

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3. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、任意两个正方形 B、任意两个平行四边形 C、任意两个菱形 D、任意两个矩形

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4. 小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：① $A B = B C$ ；② $A B ⊥ B C$ ；③ $A D = B C$ ；④ $A C ⊥ B D$ ，⑤ $A C = B D$ ．从中随机抽取一张卡片，能判定 $▱ A B C D$ 是菱形的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $O F = 1$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 与对角线 $B D$ 相交于点 $G$ ，连接 $C G$ 并延长，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 交 $C F$ 于点 $H$ ．以下结论：① $∠ C D E = ∠ B A E$ ；② $C F ⊥ D E$ ；③ $A F = B F$ ；④ $2 C E^{2} = C H \cdot C F$ ．其中正确结论的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a - b}{a + b}$ 的值为．

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8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子里红球的个数最有可能是．

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，若 $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $O E =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 的两实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + 3 x_{2} = 6$ ，则 $m$ 的值是．

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ， $A D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 的黄金分割点（ $A E > D E$ ）， $G$ 是 $C D$ 上一点，将 $Δ A B E$ 沿直线 $B E$ 折叠，点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，再将 $Δ D E G$ 沿直线 $E G$ 折叠，点 $D$ 落在 $E F$ 上的点 $H$ 处，则 $F H$ 的长为．

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12. 等腰 $Δ A B C$ 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 $Δ A B C$ 的顶角的度数是.

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三、解答题

13.

(1)、解方程： $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ．

(2)、如图，在 $Δ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，且 $∠ A D E = ∠ A B D$ ．证明： $Δ B C D ∽ Δ B D E$ ．

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14. 如图，直线 $a / / b / / c$ ，直线 $m ， n$ 相交于点 $O$ ，且分别与直线 $a ， b ， c$ 相交于点 $A ， B ， C$ 和点 $D ， E ， F$ ，已知 $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $B C = 6$ ， $E F = 5$ ，求 $D O$ 的长度．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E = D F$ ．

(2)、若 $∠ B A E ： ∠ E A D = 2 ： 3$ ，求 $∠ E A O$ 的度数．

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16. 为答谢全国人民的真情关爱，从8月8日开始，湖北举办“与爱同行惠游湖北”活动，湖北近400家 $A$ 级旅游景区对全国游客免门票开放．已知A、B、C三个景点实行免门票活动，甲、乙都有去旅游的打算．

(1)、若甲随机选择一个景点游玩，则甲选择 $A$ 景点的概率为．

(2)、利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．

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17. 已知矩形 $A B C D$ ， $E$ 为 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中作出 $A D$ 边上靠近点 $A$ 的三等分点 $F$ ．

(2)、在图2中作出点 $B$ 关于直线 $A D$ 的对称点 $M$ ．

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (k - 1) x + k - 3 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根．

(2)、若这个方程的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1} x_{2} + 6$ ，求 $k$ 的值．

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19. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．

(1)、求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．

(2)、如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $B D$ 上一点，且 $A E = D E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $D E = C E$ ．

(2)、当 $E A ⊥ A B$ 于点 $A$ ， $A E = E D = 1$ 时，求菱形的边长．

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21. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $E O$ 并延长，交 $A D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $∠ A B C = 2 ∠ A E G$ ．

(2)、求证： $E G \cdot B F = 2 A F \cdot D G$ ．

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22. 如图1，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E G F$ ，点 $F ， C ， B$ 在同一直线上，连接 $B E$ ， $D F$ ， $D F$ 与 $E G$ 相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $B E = F D$ ．

(2)、如图2， $N$ 是 $B C$ 边上的一点，连接 $A N$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，且 $\frac{B N}{B C} = \frac{G M}{G E}$ ．
①求证： $B N = E C$ ；

②若 $C E = 2 D E$ ，直接写出 $\frac{B N}{A B}$ 的值．

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23. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $D$ （与点 $B$ ， $C$ 不重合）为 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为直角边，在 $A D$ 的右侧作等腰直角三角形 $A D E$ ，直线 $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $F$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图1，如果 $A B = A C$ ．
①直线 $C E$ 与 $B D$ 之间的位置关系是；

②线段 $A F$ ， $C F$ ， $D F$ ， $E F$ 的数量关系是．

(2)、如图2，如果 $A B \neq A C$ ，（1）中的结论是否还成立，为什么？

(3)、若 $A C = 4$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长．

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