浙江省2021年数学学考模拟试卷

试卷更新日期：2020-12-16 类型：水平会考

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、{1} C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 函数 $y = 2 \sin \frac{π x}{6}$ ， $x \in R$ 的最小正周期是（）

A、12 B、6 C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 计算： $625^{\frac{1}{4}} =$ （）.

A、5 B、25 C、±5 D、±25

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4. 若直线 $a x + 3 y - 5 = 0$ 经过点 $A (2, 1)$ ，则实数 $a$ 的值（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1}}{2 x^{2} - x - 1}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x > - \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$ D、 ${x | x > - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$

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6. 已知空间向量 $\vec{m} = (3, 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 1, λ, - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = - 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、3 C、 $\frac{14}{5}$ D、2

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9. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、6 B、2 C、12 D、3

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10. 不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）

A、（﹣∞，2） B、（﹣2，6） C、（6，+∞） D、（﹣1，5）

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11. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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12. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，若 $S_{9} < S_{8} < S_{10}$ ，则（）

A、 $d > 0$ ， $S_{17} > 0$ B、 $d < 0$ ， $S_{17} < 0$ C、 $d > 0$ ， $S_{18} < 0$ D、 $d > 0$ ， $S_{18} > 0$

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13. 设a>0且a≠1，则“b>a”是“log_ab>1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 下列四组中的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \ln (1 - x) + \ln (1 + x), g (x) = \ln (1 - x^{2})$ B、 $f (x) = \lg x^{2}, g (x) = 2 \lg x$ C、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}, g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, g (x) = x + 1$

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15. 函数 $y = - \cos x \cdot \ln | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b = 10$ ，则 $2 a + 5 b$ 的最小值是（）

A、10 B、20 C、15 D、25

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17. 已知动点 $M$ 的坐标满足方程 $5 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = | 3 x + 4 y - 12 |$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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18. 如图，在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，E，F分别是 $G_{1} G_{2} ， G_{2} G_{3}$ 的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 $G_{1} ， G_{2} ， G_{3}$ 三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（）

A、①和③ B、②和⑤ C、①和④ D、②和④

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二、填空题

19. 若 $9^{x} = 27$ ，则 $x =$ ； $\log_{0.5} 1 + \log_{3} 9 =$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $M (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 $S_{Δ B F O} = \sqrt{2} S_{△ B F M}$ ，则椭圆C的离心率为

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21. 已知各项为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = {(\sqrt{S_{n - 1}} + \sqrt{a_{1}})}^{2}$ $(n \geq 2, n \in N)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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22. 在面积为2的 $△ A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $P$ 在直线 $E F$ 上，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P B} + {\vec{B C}}^{2}$ 的最小值是.

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三、解答题

23. 在 $△ A B C$ 中，已知向量 $\vec{m} = (\cos \frac{A + B}{2}, 1)$ ，且 ${\vec{m}}^{2} = \frac{5}{4}$ ，记角 $A, B, C$ 的对边依次为 $a, b, c$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，且 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

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24. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右顶点为 $A$ .
（I）求该椭圆的方程；

（II）过点 $D (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ 作直线 $P Q$ 交椭圆于两个不同点 $P 、 Q$ ，求证：直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之和为定值.

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25. 已知函数 $f (x) = (t - 1) \cdot \frac{1}{3^{x}} + 3^{x} (x \in R)$ 为偶函数.

(1)、求实数 $t$ 的值；

(2)、求不等式 $f (2 x) < \frac{10}{3}$ 的解集；

(3)、若不等式 $f (2 x) + 4 < m f (x)$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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