湖北省黄冈市麻城市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合A={x|0<x≤2}，B={0，1，2，3}，则集合A∩B=（）

A、{0，1} B、{0，1，2} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 命题“ $\forall x \geq 0 ， x^{2} - 1 \geq - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 0 ， x^{2} - 1 < - 1$ B、 $\forall x < 0 ， x^{2} - 1 < - 1$ C、 $\exists x \geq 0 ， x^{2} - 1 < - 1$ D、 $\exists x < 0 ， x^{2} - 1 < - 1$

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3. 已知点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ 在幂函数 $y = f (x)$ 的图象上，则 $f (x)$ 的表达式（）

A、 $f (x) = \frac{x}{3}$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = x^{- 2}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \sqrt{x + 1} ， x \geq 0 \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (3)) ＝$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{100}{9}$

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5. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x + 5 - {(x - 1)}^{2}}}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | - 4 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$

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6. 已知二次函数f（x）=x²-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、a≤2或a≥3 B、2≤a≤3 C、a≤-3或a≥2 D、-3≤a≤-2

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 + \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8. 定义在 $[- 1 ， 1]$ 的函数 $f (x)$ 满足下列两个条件：①任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ 都有 $f (- x) = - f (x)$ ；②任意的 $m ， n \in [0 ， 1]$ ，当 $m \neq n$ ，都有 $\frac{f (m) - f (n)}{m - n} < 0$ ，则不等式 $f (1 - 3 x) < f (x - 1)$ 的解集是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}]$ C、 $[- 1 ， \frac{1}{2})$ D、 $[\frac{2}{3} ， 1]$

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二、多选题

9. 下列判断正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $y = \frac{1}{x}$ 是定义域上的减函数 C、 $x < - 1$ 是不等式 $\frac{x - 1}{x} > 0$ 成立的充分不必要条件 D、函数 $y = x^{a - 1} + 1$ 过定点 $(1 ， 2)$

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10. 对任意实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，给出下列命题，其中真命题是（）

A、“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的充要条件 B、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分条件 C、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件 D、“ $a + 5$ 是无理数”是“ $a$ 是无理数”的充要条件

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11. 设 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{a}{b} < a - b$ C、 $\frac{b^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{3}}{b^{3}} > 2$ D、 $\frac{1}{| b |} < \frac{1}{| a |}$

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12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” $y = f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数 $f (x)$ 有如下四个命题，正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in C_{R} Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立 C、任取一个不为零的有理数T， $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立 D、不存在三个点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ ， $C (x_{3} ， f (x_{3}))$ ，使得 $Δ A B C$ 为等腰直角三角形

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三、填空题

13. 集合M= ${a ， \frac{b}{a} ， 1}$ ，集合N={a² ， a+b，0}，且M=N，则a²⁰¹³+b²⁰¹⁴=.

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14. 若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ 是定义在 $[- 1 - a ， 2 a]$ 上的偶函数，则 $f (2 a - b) =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a ， x \leq - 1 \\ a x + 4 ， x > - 1 \end{array}$ 在R上是单调函数，则a的取值范围为.

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16. 已知定义在 $R_{+}$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足下列三个条件：① $f (3) = - 1$ ；②对任意 $x ， y \in R_{+}$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ；③ $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ ，则不等式 $f (6 x) < f (x - 1) - 2$ 的解集为．

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四、解答题

17. 在①A∩B=A，②A∩( $∁$ _RB)=A，③A∩B=∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求A∪B；

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

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18. 设命题 $p$ ：实数 $x$ 满足 $a < x < 3 a$ ，其中 $a > 0$ ，命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $x \leq 1$ 或 $x \geq 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p ， q$ 均为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数的取值范围.

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19. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 $(2 + \frac{x^{2}}{360})$ 升，司机的工资是每小时14元.

(1)、求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)、当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

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20. 已知幂函数 $f (x) = (k^{2} - 4 k + 5) x^{- m^{2} + 4 m} (m \in Z)$ 的图象关于y轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数．

(1)、求 $m$ 和 $k$ 的值；

(2)、求满足不等式 ${(2 a - 1)}^{- 1} < {(a + 2)}^{- \frac{m}{2}}$ 的实数a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + 1}{1 + x^{2}}$ 是 $R$ 上的偶函数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调性；

(3)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 3 ， 2]$ 上的最大值与最小值．

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22. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 2$ ．

(1)、若 $x \in [1 ， 5]$ 时，不等式 $f (x) > 3 a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $(a + 1) x^{2} + x > f (x)$ （其中 $a \in R$ ）．

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