河南省驻马店市上蔡县2020届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$

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2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 的一个根是1，则 $a$ 的值为（）

A、-2 B、1 C、2 D、0

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3. 如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点， AC=4 ，则AB的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$ ， $Δ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $\sin ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知点 $A (1, y_{1}), B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ 上，则下列结论正确的是（）

A、 $2 > y_{1} > y_{2}$ B、 $2 > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 2$ D、 $y_{2} > y_{1} > 2$

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6. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 4$ 的图象的顶点坐标是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(- 1, - 3)$

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7. 上蔡县是古蔡国所在地，有着悠久的历史，拥有很多重点古迹.某中学九年级历史爱好者小组成员小华和小玲两人计划在寒假期间从“蔡国故城、白圭庙、伏羲画卦亭”三个古迹景点随机选择其中一个去参观，两人恰好选择同一古迹景点的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ 所对的圆周角 $∠ A C B = 50^{0}$ ，若 $P$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O P = 55^{0}$ ，则 $∠ P O B$ 的度数为（）

A、30° B、45° C、55° D、60°

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $O C ∥ B D$ B、 $A D ⊥ O C$ C、 $Δ C E F ≅ Δ B E D$ D、 $A F = F D$

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10. 如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 90 °$ ，点 $P$ 从点 $O$ 沿边 $O A$ ， $A B$ 匀速运动到点 $B$ ，过点 $P$ 作 $P C ⊥ O B$ 交 $O B$ 于点 $G$ ，线段 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $O C = x$ ， $S_{△ P O C} = y$ ，则能够反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. $\sqrt{3} s i n 60 ° =$ .

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12. 已知 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b} = 1$ ，若 $a ， b$ 是一元二次方程 $x^{2} + 5 x + k = 0$ 的两个实数根，则 $k$ 的值是.

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13. 在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则 $S_{Δ A E F} ： S_{Δ C B F}$ 是．

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14. 如图， $Δ A O B$ 三个顶点的坐标分别为 $A (8 ， 0) ， O (0 ， 0) ， B (8 ， - 6)$ ，点 $M$ 为 $O B$ 的中点.以点 $O$ 为位似中心，把或 $Δ A O B$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $Δ A' O B'$ ，点 $M'$ 为 $O B'$ 的中点，则 $M M'$ 的长为.

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15. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2}$ 的图象如图所示．已知 $A$ 点坐标为 $(1 ， 1)$ ，过点 $A$ 作 $A A_{1} ∕ ∕ x$ 轴交抛物线于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} A_{2} ∕ ∕ O A$ 交抛物线于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} A_{3} ∕ ∕ x$ 轴交抛物线于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} A_{4} ∕ ∕ O A$ 交抛物线于点 $A_{4}$ ……，依次进行下去，则点 $A_{2019}$ 的坐标为．

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三、解答题

16. 先化简再求值： $(\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x - 2}$ 其中 $x = 4 tan 45 ° + 2 cos 30 °$ .

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17. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 13.

(1)、若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是；

(2)、若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，

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18. 如图，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $B E // A C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，点 $D$ 为射线 $B C$ 上一动点， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，连接 $A C$ .

(1)、求证： $A D // C E$ ；

(2)、连接 $E A$ ，若 $B C = 3$ ，则当 $C D =$ 时，四边形 $E B C A$ 是矩形.

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k^{2} x^{2} + 2 (k - 1) x + 1 = 0$ .

(1)、若方程有实数根，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求 $k$ 的值.

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20. 知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行.中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活.如图，某校周末组织学生利用导航到某地（用 $A$ 表示）开展社会实践活动，车辆到达 $B$ 地后，发现 $A$ 地恰好在 $B$ 地的正北方向，且距离 $B$ 地8千米.导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至 $C$ 地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达 $A$ 地.求 $A 、 C$ 两地间的距离（结果精确到0.1千米）.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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21. 春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量 $y$ （个）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个.

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为（不要求写出 $x$ 的取值范围）；

(2)、若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

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22.

(1)、问题发现
如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{2} ， ∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，以 $C D$ 为一边作正方形 $C D E F$ ，点 $E$ 恰好与点 $A$ 重合，则线段 $B E$ 与 $A F$ 的数量关系为；

(2)、拓展探究
在（1）的条件下，如果正方形 $C D E F$ 绕点 $C$ 旋转，连接 $B E ， C E ， A F$ ，线段 $B E$ 与 $A F$ 的数量关系有无变化?请仅就图2的情形进行说明；

(3)、问题解决.
当正方形 $C D E F$ 旋转到 $B 、 E 、 F$ 三点共线时，直接写出线段 $A F$ 的长.

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23. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (3 ， 0)$ 和 $B (0 ， 2)$ ，点 $M (m ， 0)$ 为线段 $O A$ 上一个动点（点 $M$ 与点 $A$ 不重合），过点 $M$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A B$ 和抛物线分别交于点 $P 、 N$ .

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点 $P$ 是 $M N$ 的中点，则求点 $P$ 的坐标；

(3)、若以点 $B 、 N 、 P$ 为顶点的三角形与 $Δ A M P$ 相似，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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