四川省乐山市十校2020-2021学年高二上学期期中联考数学（理)试题

试卷更新日期：2020-12-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的虚轴长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$ 上的点 $P$ 到一个焦点的距离为 $3 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 到另一个焦点的距离为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 9 = 0$ 的圆心坐标和半径长分别是（）

A、 $(- 2, 3), 2$ B、 $(2, - 3), 2$ C、 $(- 2, 3), 4$ D、 $(2, - 3), 4$

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4. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，则两圆的位置关系是（）

A、相离 B、外切 C、相交 D、内含

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6. 已知点 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $M (x_{0}, 1)$ 在抛物线上，若 $| F M | = \frac{3}{2}$ ，则该抛物线的方程为（）

A、 $x^{2} = 2 y$ B、 $x^{2} = \frac{3}{2} y$ C、 $x^{2} = y$ D、 $x^{2} = \frac{1}{2} y$

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7. 已知方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2})$

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8. 三个几何体组合的正视图和侧视图均为如下图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y + 17$ 的最大值为（）

A、3 B、7 C、9 D、49

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10. 如图，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ D C$ ， $A D / / B C$ ， $B C = 2 C D = 2 A D = 2$ ，若将直角梯形绕 $B C$ 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）

A、 $3 π + \sqrt{2} π$ B、 $3 π + 2 \sqrt{2} π$ C、 $6 π + 2 \sqrt{2} π$ D、 $6 π + \sqrt{2} π$

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11. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率小于0的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $l$ 与准线交于点 $C$ ，若 $\vec{C A} = 3 \vec{A F}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 以 $F_{2}$ 为焦点，且椭圆与抛物线在第一象限交于点 $P$ ，若 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 抛物线x²=﹣8y的准线方程为．

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为．

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15. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - k = 0$ 上的点到直线 $x + y - 10 = 0$ 的最大距离与最小距离的差为 $6$ ，则实数 $k =$ ．

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，则 $△ F_{1} A B$ 的内切圆半径为．

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三、解答题

17. 求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1)、经过点 $A (- 3, 0)$ , $B (0, - 2)$ ；

(2)、长轴长等于20,焦距等于12.

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18. 求满足下列条件的双曲线的标准方程．

(1)、实轴在 $x$ 轴上，实轴长为 $4$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ；

(2)、焦点为 $(0, 6)$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 有相同渐近线．

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19. 已知点 $A (3, - 3),$ 点 $B (1, 3)$ 两点.

(1)、求以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两不同点，求线段 $M N$ 的长度.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 到直线 $y = 2$ 的距离与到点 $F (0, - 1)$ 的距离之差为1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M (0, - 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A O B$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，那么椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 是否可以成为 $△ B M N$ 的垂心？若可以，求出直线 $l$ 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $y = \sqrt{3} (x - \frac{p}{2})$ 相交于A，B两点，线段AB的长为8．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线 $x = - 2$ 上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，且满足 $k_{1} + k_{3} = λ k_{2}$ ， $λ$ 能否为定值？若为定值，求出 $λ$ 的值；若不为定值，请说明理由．

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