四川省成都市郫都区2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $y = \sqrt{3} x + 2$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5}{6} π$

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2. 在空间直角坐标系中，点 $P (1 ， 3 ， - 5)$ 关于 $x O y$ 面对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 3 ， - 5)$ B、 $(1 ， - 3 ， 5)$ C、 $(1 ， 3 ， 5)$ D、 $(- 1 ， - 3 ， 5)$

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3. 高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（）

A、15，43 B、15，42 C、14，43 D、14，42

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4. 某地在国庆节 $7$ 天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为16；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有2天，则上述判断中正确的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）

A、 $\frac{726 π}{5}$ mm² B、 $\frac{363 π}{10}$ mm² C、 $\frac{363 π}{5}$ mm² D、 $\frac{363 π}{20}$ mm²

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6. 过点 $(- \sqrt{3} ， - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、4 D、-4

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7. 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 2 ay - 1 = 0$ ，与 $l_{2}$ ： $(2 a - 1) x - ay - 1 = 0$ 平行，则a的值是 $($ 　　 $)$

A、0或1 B、1或 $\frac{1}{4}$ C、0或 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 已知直线 $l$ 过点 $(1 ， 0)$ ，且倾斜角为直线 $l_{0}$ ： $x - 2 y - 2 = 0$ 的倾斜角的2倍，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $4 x - 3 y - 3 = 0$ B、 $3 x - 4 y - 3 = 0$ C、 $3 x - 4 y - 4 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 4 = 0$

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10. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知M、N分别是圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 1$ 和圆 $D ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 1$ 上的两个动点，点P在直线 $l ： y = x$ 上，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{17} - 2$ B、10 C、 $\sqrt{65} - 2$ D、12

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12. 已知实数x，y满足 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则 $\frac{| \sqrt{3} x + y |}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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二、填空题

13. 某校田径队有男生56人，女生42人，现用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为28的样本，那么抽到男生的人数是．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为

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15. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为，

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16. 如图，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16 ， A ， B$ 是圆 $O$ 上两个动点，点 $P (2 ， 0)$ ，则矩形 $P A C B$ 的顶点 $C$ 的轨迹方程是．

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三、解答题

17. 若 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，点 $(n ， S_{n})$ 均在函数y＝ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x$ 的图像上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近

5

年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份代码x	1	2	3	4	5
交易额y/百亿元	9	12	17	21	26

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sqrt{1860} \approx 43 .1$ .

(1)、请根据上表提供的数据，用相关系数

r

说明

y

与

x

的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数.（统计中用相关系数

r

来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量

x

的取值

x_{i}

，变量

y

的观测值为

y_{i}

(

1 \leq i \leq n

)，则两个变量的相关系数的计算公式为：

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}

.统计学认为，对于变量

x ， y

，如果

r \in [- 1 ， - 0.75]

，那么负相关很强；如果

r \in [0.75 ， 1]

，那么正相关很强；如果

r \in (- 0.75 ， - 0.30]

或

r \in [0.30 ， 0.75)

，那么相关性一般；如果

r \in [- 0.25 ， 0.25]

，那么相关性较弱）；

(2)、求出

y

关于

x

的线性回归方程，并预测

2020

年该网站“双11”当天的交易额.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos 2 x$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值及函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $a = 3$ 且 $b = 3 c$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 某大学为调研学生在

A

，

B

两家餐厅用餐的满意度，在

A

，

B

两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：

[0 ， 10)

，

[10 ， 20)

，

[20 ， 30)

，

[30 ， 40)

，

[40 ， 50)

，

[50 ， 60]

，得到

A

餐厅分数的频率分布直方图，和

B

餐厅分数的频数分布表：

B餐厅分数频数分布表
分数区间	频数
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35

(1)、在抽样的100人中，求对

A

餐厅评分低于30的人数；

(2)、从对

B

餐厅评分在

[0 ， 20)

范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在

[0 ， 10)

范围内的概率；

(3)、求学生对A餐厅评分的平均数.

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且 $M C = 2 M B$ ，求点 $C$ 到平面 $P O M$ 的距离．

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22. 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} ：$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；

(2)、求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3)、是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L：$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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