贵州省遵义市2020-2021学年高二上学期数学期中联合考试试卷

试卷更新日期：2020-12-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $N = {x | x^{2} = 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、{1} B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， λ + 1)$ ， $\vec{n} = (λ + 2 ， 2)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $λ =$ （）

A、-1 B、0 C、 $- \frac{4}{3}$ D、-2

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3. 函数 $f (x) = \frac{\lg x}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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4. 某中学开展劳动实习，组织学生加工制作零件.已知某零件的直观图如图1所示.某学生绘制出了该零件的正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $\sin (α + \frac{5 π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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6. 下列函数中与函数 $y = | x |$ 值域相同的是（）

A、 $y = \log_{3} x$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} - 4 x + 4$

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7. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + S_{5} = 18$ ， $a_{6} = a_{3} + 3$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $n - 1$ B、 $n$ C、 $2 n - 1$ D、 $2 n$

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8. 函数 $y = x \sin x + \cos x - 1$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 图1是第七届国际数学教育大会( $I C M E - 7$ )的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，则 $\sin ∠ A_{6} O A_{8} =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2} + 2 \sqrt{21}}{28}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2} - 2 \sqrt{21}}{28}$ C、 $\frac{14 \sqrt{3} + 1}{28}$ D、 $\frac{14 \sqrt{3} - 1}{28}$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， A > 0)$ 的部分图象如图所示，则下列不正确的是（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、 $A = \sqrt{6}$ C、 $φ = - \frac{π}{4}$ D、 $f (0) = - \sqrt{3}$

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11. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，已知 $A E = \frac{3}{5} A B$ ， $A F = 2 F C$ ， $G D = 3 A G$ ，则四面体 $A B C D$ 被截面 $E F G$ 分得的上下两部分的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{4}{15}$

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12. 若一个圆柱的表面积为 $12 π$ ，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为（）

A、 $(12 \sqrt{5} - 12) π$ B、 $12 \sqrt{3} π$ C、 $(12 \sqrt{3} + 3) π$ D、 $16 π$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 4 x - y$ 的最大值是.

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15. 已知 $△ A B C$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形，点 $D$ 在线段 $A C$ 的延长线上，若 $∠ B D C = 45 °$ ，则 $B D =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} + x^{5}$ 在 $[- n ， n] (n > 0)$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ .

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三、解答题

17. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，其外接球的表面积为 $5 π$ .

(1)、求该长方体的表面积；

(2)、求异面直线 $B D$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $6 a_{2}$ 为 $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 2) = 3 + \log_{2} (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 8]$ ，求函数 $g (x) = f^{2} (x) - 3 f (2 x)$ 的值域.

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\cos x ， \cos x + \sin x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \sin x ， \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、若 $α$ 为锐角，且 $f (α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin (B - \frac{π}{2}) + 2 c \cos B - b \cos A = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的取值范围.

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22. 在如图所示的空间几何体中，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $E C B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A C D$ ， $△ E C B$ ， $△ A C B$ 都是等边三角形.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A B C$ .

(2)、已知 $A C = 4$ ，求四棱锥 $C - A B E D$ 的高.

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