甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-12-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $B = 60 °$ ，那么角 $A$ 等于（）

A、135° B、135°或45° C、45° D、60°

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2. 由 $a_{1} = 1$ ， $d = 3$ 确定的等差数列 ${a_{n}}$ ，当 $a_{n} = 298$ 时，序号 $n$ 等于（）

A、99 B、100 C、96 D、101

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3. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $\cos A = \frac{3}{4}$ ， $\sin B = 2 \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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4. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 18$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （　　　）

A、12 B、10 C、8 D、2+log₃5

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5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x - m = 0$ 有两个不相等的实根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2 - 3 \sqrt{2}) \cup (- 2 + 3 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- 3 - 2 \sqrt{2} ， - 3 + 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- 2 - 3 \sqrt{2} ， - 2 + 3 \sqrt{2})$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $b = 14$ ， $A = 30^{\circ}$ ，使得三角形有两解的条件是（）

A、 $a = 7$ B、 $7 < a < 14$ C、 $a \geq 14$ D、 $a < 7$

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8. 一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.

A、55989 B、46656 C、216 D、36

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 5$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{8}{3} \times 2^{n} - \frac{5}{3}$ B、 $\frac{8}{3} \times 2^{n - 1} - \frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{3} \times 4^{n} - \frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{3} \times 4^{n - 1} - \frac{5}{3}$

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10. 对任意实数 $x$ ，不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 2]$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(- \infty, - 2) \cup [2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup (2, + \infty)$

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11. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C,$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若三边的长为连续的三个正整数，且 $A > B > C$ ， $3 b = 20 a \cos A$ ，则 $\sin A : \sin B : \sin C$ 为（）

A、4∶3∶2 B、5∶6∶7 C、5∶4∶3 D、6∶5∶4

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12. 若两个等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 2}{2 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{12}}{b_{15}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{70}{59}$ C、 $\frac{71}{59}$ D、 $\frac{8}{5}$

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二、填空题

13. 不等式 $- x^{2} + 2 x - 3 > 0$ 的解集是.

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14. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，其中 $a = 5 + 2 \sqrt{6}$ ， $c = 5 - 2 \sqrt{6}$ ，则 $b =$ .

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15. $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 A=60°，b=2， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ .

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16. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} + a_{8} + a_{9} > 0, a_{7} + a_{10} < 0$ ，则当 $n =$ 时， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和最大．

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三、解答题

17. 设集合 $A = {x | 4 - x^{2} > 0}$ ， $B = {x | y = \lg (- x^{2} - 2 x + 3)}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若不等式 $2 x^{2} + a x + b < 0$ 的解集为 $B$ ，求 $a, b$ .

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18. 数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = f (x + 1), a_{2} = 0, a_{3} = f (x - 1),$ 其中 $f (x) = x^{2} - 4 x + 2,$ 求通项公式 $a_{n}$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，如果有性质 $a \cos A = b \cos B$ ，试问这个三角形具有什么特点？

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20. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\cos C = \frac{4}{5}$ ， $c = 2 b \cos A$ ，

(1)、求证： $A = B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{15}{2}$ ，求 $c$ 的值.

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22. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1)$ ， $n \in N^{+}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = 3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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