江西省赣州市十五县（市)十六校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 2}$ ，则下列关系表示错误的是（）．

A、 $0 \in A$ B、 ${2} \in A$ C、 $\emptyset \subseteq A$ D、 ${0 ， 2} \subseteq A$

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2. 已知映射 $f ： (x ， y) \to (x + 2 y ， x - 2 y)$ ，在映射f下 $(3 ， - 1)$ 的原象是（）

A、 $(3 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(1 ， 5)$ D、 $(5 ， - 7)$

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3. 函数 $y = a^{x + 1} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象一定过点（）．

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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4. 若 $a = 3^{\frac{3}{2}}$ ， $b = 3^{\frac{5}{2}}$ ， $c = \log_{0.5} 3$ ，则（）．

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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5. 全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x (x - 4) \leq 0}$ ，集合 $B = {x | \log_{2} (x - 1) > 2}$ ，图中阴影部分所表示的集合为（）．

A、 $(- \infty ， 0] \cup [4 ， 5]$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 0) \cup [4 ， 5]$ D、 $(- \infty ， 4] \cup (5 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x} + 1$ ，若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (- a) =$ （）．

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，在 $(- \infty ， 0]$ 上是减函数且 $f (2) = 0$ ，则使 $x f (x) < 0$ 的x的取值范围（）．

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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8. 函数 $f (x) = a^{x}$ 与 $g (x) = x + a$ 在同一坐标系中的图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $f (x) = {\begin{cases} \log_{a} x ， x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x - 2 ， x \leq 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(8 ， + \infty)$ C、 $[4 ， 8)$ D、 $(1 ， 8)$

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10. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有 $3^{613}$ 种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 $10000^{52}$ ，下列最接近 $\frac{3^{361}}{10000^{52}}$ 的是（注： $\lg 3 \approx 0.477$ ）（）

A、 $10^{- 25}$ B、 $10^{- 26}$ C、 $10^{- 35}$ D、 $10^{- 36}$

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11. 对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} [x^{2} - 2 (2 a - 1) x + 8]$ ， $a \in R$ ，若 $f (x)$ 在 $[a ， + \infty)$ 上为减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \frac{4}{3} ， 1]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \frac{4}{3} ， 2]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是幂函数，且该函数在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $m$ 的值是．

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14. 若集合 $A = {x | a x^{2} + a x - 1 = 0 ， x \in R}$ 不含有任何元素，则实数a的取值范围是．

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15. 若 $f (2^{x}) = 4^{x} - 2^{x}$ ，则 $f (x) =$ ．

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16. 下列给出的命题中：
①若 $f (x)$ 的定义域为R，则 $g (x) = f (x) + f (- x)$ 一定是偶函数；

②若 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，对于任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，则函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称；

③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；

④若 $f (x) = \frac{a x + 1}{x + 2}$ 在区间 $(- 2 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $a > \frac{1}{2}$ ；

其中正确的命题序号是．

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$ ；

(2)、 $2 \lg 5 + \frac{2}{3} \lg 8 + \lg 5 \cdot \lg 20 + {(\lg 2)}^{2}$

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x < - 4$ 或 $x > 1}$ ， $B = {x | - 3 \leq x - 1 \leq 2}$ ，

(1)、求 $A \cap B$ 、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若集合 $M = {x | 2 k - 1 \leq x \leq k + 1}$ 是集合A的子集，求实数k的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，已知 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、试讨论 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数．

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20. 设 $f (x)$ 是R上的奇函数，且对任意的实数 $a ， b$ ，当 $a + b \neq 0$ 时，都有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$

(1)、若 $a > b$ ，试比较 $f (a) ， f (b)$ 的大小；

(2)、对于任意的实数 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (x - c) + f (x - c^{2}) > 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围．

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21. 某批发市场一服装店试销一种成本为每件 $60$ 元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的 $40 %$ ，经试销发现销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）符合一次函数 $y = k x + b$ ，且 $x = 80$ 时， $y = 40$ ； $x = 70$ 时， $y = 50$ .

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的解析式，并指出 $x$ 的取值范围；

(2)、若该服装店获得利润为 $W$ 元，试写出利润 $W$ 与销售单价 $x$ 之间的关系式；销售单价 $x$ 定为多少元时，可获得最大利润最大利润是多少元？

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + 1) + m x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m > 0$ 时，关于 $x$ 的方程 $f [8 {(\log_{4} x)}^{2} + 2 \log_{2} \frac{1}{x} + \frac{4}{m} - 4] = 1$ 在区间 $[1 ， 2 \sqrt{2}]$ 上恰有两个不同的实数解，求 $m$ 的范围．

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